高维前缀和

高维前缀和、快速莫比乌斯变换

高维前缀和#

问题#

给定数组 $f_i$，定义 $g_i=\sum _{j\subseteq i}{f}_j$，求 $g_i$。

$j\subseteq i$ 即 $j\mathrm{or}i$。

解法#

常规做法是使用 $O(3^n)$ 的子集枚举的 trick。

用高维前缀和可以做到 $O(n{2}^n)$ 的优秀复杂度。

具体来说，按一定顺序枚举全集 $U$ 中的每一个元素，逐个加入这些元素。

假设现在枚举到了 $i$，若 $s$ 中含 $i$，则令 $g_s$ 加上 $g_{s-\{i\}}$。

因为 $g_{s-\{i\}}$ 包含了不含 $i$ 的，且是 $s$ 子集的集合；而 $g_s$ 则包含了含 $i$，且是 $s$ 子集的集合。

参考代码#

copy 了别人写的代码

void SUM(int *a,int n){for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<(1<<n);j++)if(j&(1<<i))a[j]+=a[j^(1<<i)];}

高维差分#

只需将高维前缀和中的 + 变成 - 即可。想象前缀和与差分，不正是把 + 变 - 了吗？

高维后缀和#

将 $s$ 中含有 $i$ 改成“不含”即可。

快速莫比乌斯变换#

问题#

给定 $A$ 和 $B$，定义 $C_i=\sum _{j\mathrm{or}k=i}{A}_j\times B_k$。

解法#

对 $A$ 和 $B$ 做高维前缀和，然后按位相乘，得到的结果恰是 $C$ 高维前缀和的结果。再做一次高维差分就能得到真实的 $C$ 数组了。

例题#

CF165E#

板题，只是因为这里应当有一份我的代码。

// g++ e.cpp -o e -std=c++14 -Wall -Wextra -Wshadow -O2

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5, V = 1 << 22;
int f[V], a[N];
int main()
{
    cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        cin >> a[i];
        f[a[i]] = a[i];
    }
    for (int i = 0; i < 22; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < V; ++j)
        {
            if (j >> i & 1)
            {
                if (!f[j])
                    f[j] = f[j ^ (1 << i)];
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        if (!f[(V - 1) ^ a[i]])
        {
            cout << "-1 ";
        }
        else
        {
            cout << f[(V - 1) ^ a[i]] << " ";
        }
    }
}

另一道板题

Dirichlet 前缀和#

以每一个质数作为一维，则 Dirichlet 前缀和本质上就是高维前缀和。

但质数实际上非常多，每一个开一维不可接受，但有用状态数为 ${10}^7$ 级别，可以不用压二进制，每个数的唯一分解形式即可以表示每一维。

for (int i = 1; i <= pril; ++i)
    for (int j = 1; j * pri[i] <= n; ++j)
        s[j * pri[i]] += s[j];