后缀数组

后缀数组

定义#

$s{a}_i$ 表示排名为 $i$ 的后缀起点下标。

$r{k}_i$ 表示后缀 $i$ 的排名。

求 SA#

$O(n{\log }^{2}n)$ 的基本思路是倍增。

假设已知 $i$ 开头长为 $l$ 的串的排名为 $r{k}_i$，只需要根据 $r{k}_i$ 和 $r{k}_{i+l}$ 进行双关键字排序就能得到 $i$ 开头长为 $2l$ 的串的排名。每一次长度能倍增。最后得到每一个位置开头，长度为 $l>n$ 的串的排名，相当于后缀的排名。

使用 sort 直接进行双关键字排序可以做到 $O(n{\log }^{2}n)$，使用基数排序可以优化至 $O(n\log n)$。

有几个小优化，优化较为明显。首先按照第二关键字排序，对于开头在 $[n-l+1,n]$ 的串，它们的 $i+l$ 超过了 $n$，所以第二关键字为 $0$，按照第二关键字排序之后一定在最前面。剩下的部分，若 $s{a}_i>w$，则插入 $s{a}_i-w$ 这个位置。也就是说由于上次已经对第二关键字的所有串排序了，直接插入即可。

实现有一些技巧，可以看看 OI-Wiki 上的代码。

height 数组#

下文中 $lcp(i,j)$ 表示后缀 $i$ 和后缀 $j$ 的最长公共前缀。

$heigh{t}_i$ 定义为 $lcp(s{a}_i,s{a}_{i-1})$。

引理：$height[r{k}_i]\ge height[r{k}_{i-1}]-1$。人话：后缀 $i$ 与其前一名的最长公共前缀长度 至少 为 $i-1$ 后缀与其前一名的最长公共前缀长度减一。

证明：

若 $height[r{k}_{i-1}]\le 1$，则右边不超过 $0$，显然成立。

否则，如图：

绿色部分即为 $i-1$ 后缀 $height[r{k}_{i-1}]$，由定义知，绿色部分后一个字符 $X<Y$。

$A$ 串红色部分 $i$ 后缀。由于 $X<Y$，故 $B$ 串红色部分字典序必小于 $A$ 串红色部分。

若 $B$ 红为 $A$ 红前一名，引理成立。否则考虑中间夹着的串，容易发现，引理仍成立。

故求 $height$ 数组可以 $O(n)$，具体地，利用引理暴力求，由于每一次只会减一，总共只能减 $n$ 次，也就只能加 $O(n)$ 次了。