AtCoder ARC 做题记录

ARC 做题记录

ARC001-099#

ARC069F#

题意：给定 $n$ 组数 $(x_i,y_i)$，要求从每一组中选出一个数，使得相差最小的两个数差值最大。求最大差值。

$1\le n\le {10}^4,1\le x_i,y_i\le {10}^9$

解法：

直接二分答案。二选一直接 2-SAT，直接建边会炸就线段树优化。

具体来说，将 $x_i$ 和 $y_i$ 一起排序，建立一棵叶子的权值有序的线段树，如果叶子表示 $x_i$，就连一条边到 $y_i$ 代表的点。那么二分 $mid$ 之后，$x_i$ 向 $(x_i-mid,x_i+mid)$ 连边即可。

ARC075E#

这大水题吧。

题意：给一个长度为 $N$ 的序列 $a$，求有多少个区间的平均值不小于 $K$。

$1\le N\le 2\times {10}^5$

解法：

平均值，直接将 $a_i$ 减去 $K$，问题转化为多少个区间满足区间和非负。考虑固定右端点，对左端点计数。左端点需要满足前缀和小于等于右端点的前缀和，这是一个二维数点问题。

submissions

ARC100-199#

ARC107E#

有一个 $n\times n$ 的矩形 $A$，给定这个矩形的第一行和第一列。$A_{i,j},i>1,j>1$ 定义为 $\mathrm{mex}\{A_{i-1,j},A_{i,j-1}\}$。给定第一行第一列中只有 $0$ 或 $1$ 或 $2$，容易证明整个矩阵中也只有这三种数字。求矩阵中有多少个 $0$，$1$，$2$。

$1\le n\le 500,000$

解法：

打表发现，对于 $i>5$ 且 $j>5$ 有 $a_{i,j}=a_{i-1,j-1}$，具体证明需要一些性质，比较繁琐。所以只需要将前五行和前五列求出来简单计算即可。

Submission

ARC107F#

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，每个点有权值 $a_i$ 和 $b_i$，定义一个连通块的权值为 $b$ 之和的绝对值。可以删去任意个点，删去点 $i$ 代价为 $a_i$，求总权值减去总代价的最小值。

$1\le n,m\le 300$。

解法：

点 $i$ 有三种可能：贡献为 $b_i$，贡献为 $-b_i$，贡献为 $-a_i$。

建立最小割模型：先将答案加上 $\sum a_i$，然后减去最小割。

将 $i$ 拆成两个点 $i^{\prime }$ 和 $i^{″}$，从源点向 $i^{\prime }$ 连接一条权值为 $a_i-b_i$ 的边，从 $i^{″}$ 向汇点连接一条 $a_i+b_i$ 的边，$i^{\prime }$ 和 $i^{″}$ 之间连接一条无穷的边。表示如果删掉第一条边，贡献为 $b_i$，第二条边类似，两条边都删去贡献为 $-a_i$。

但是还要求同一个连通块中的贡献的 $b$ 的符号是相同的，所以对于一条边 $(u,v)$，从 $u^{\prime }$ 向 $v^{″}$ 连一条无穷的边，这样可以限制 $u$ 和 $v$ 都割了相同类型的边。$v^{\prime }$ 到 $u^{″}$ 同理。

这样网络中可能有负权边，负权边直接割掉肯定不劣。

Submission

ARC147C#

好题，做法挺妙的。

题意：

给定 $n$ 个限制 $(l_i,r_i)$，要求选定 $n$ 个变量满足 $l_i\le x_i\le r_i$。使得下列式子最小化：

$$\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n|x_i-x_j|$$

求该式子最小值。

$n\le 3\times {10}^5$

解法：

设 $l$ 中最大值为 $X$，$r$ 中最小值为 $Y$，则，

• 若 $x\le y$，那么所有 $l$ 均小于等于 $X$，所有 $r$ 均大于等于 $Y$，取任一 $X\le x_i\le Y$，所有数均能取到此值，答案为 $0$

• 否则，则必然所有 $x_i$ 都在 $(Y,X)$ 之间。考虑若 $x_i<Y$，由于其右端点必定大于等于 $Y$，则必定可以将其调整到 $Y$ 位置，答案不会变得更劣。同理若 $x_i>X$，也可以将其调整到 $X$。

  设 $X$ 和 $Y$ 所代表区间分别为 $L$ 和 $R$，除了 $L$ 和 $R$ 以外的区间，两两之间的贡献设为 $C$，则原式可以拆成

  $$\sum _{i\ne L,R}(x_i-Y)+\sum _{i\ne L,R}(X-x_i)+(X-Y)+C$$

  此时除了 $C$ 以外的贡献为 $(n-1)(Y-X)$，显然，需要最小化 $Y-X$。将 $r$ 降序排序，$l$ 升序排序，对应位置组合，就能得到最小贡献。

  $C$ 的贡献相当于一个子问题，可以重复解决。

  实际写代码其实非常简便，可以参考提交记录。

Submissions

洛谷双倍经验题

ARC153C#

非常好的构造题。

题意：给定一个长度为 $N$ 的序列 $a_i$，$a_i\in \{0,1\}$，需要构造一个 严格递增 序列 $b_i$，满足 $\left|b_i\right|\le {10}^{12}$，并且 $\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=0$，或者报告无解。

解法：

调整。首先钦定 $b_i=i$，可以得到一个和 $S$。若要保证 $b$ 序列递增的性质，必定要调整 $b$ 序列的一个前缀减或后缀加。

例如 $S>0$ 时，可以找到 $a$ 的一个前缀和为 $1$ 的区间，将其区间减 $S$，或是找到一个后缀和为 $-1$ 的区间，将其区间加 $S$。这样必定是充分的。

如果找不到，就是无解。因为 $a$ 的前缀和是连续的，若存在一个前缀和大于 $0$，则必然存在前缀和等于 $1$。若不存在前缀和等于 $1$，说明前缀和均为非正数，无论如何操作，都不能使得前缀和减小，故必要性得证。

Submissions

ARC164D#

题意比较复杂，但是梳理完之后其实并不困难。大概是说若 $s$ 是一个 $+$ 和 $-$ 组成的字符串，定义 $p(s)$ 是这个字符串有关的一个问题的解。给定一个某些位置是 $?$ 的字符串，求可能的 $p$ 之和。

解法：

乍一看比较困难，但是认真梳理一下，发现每一个点的方向是确定的，点 $i$ 的方向为右等价于其左侧同色个数大于等于异色个数。再发现向右的点对 $p$ 的贡献是 $-i$，向左是 $i$，那么直接 DP 就可以了。设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个位置填完了，有 $j$ 个点是 +，的答案，设辅助 $g_{i,j}$ 表示方案数。

submission

ARC167F#

给 $n$ 个括号串，求是否能重排之后拼起来形成合法括号序。

解法：

很显然是贪心，但是刚开始做的时候不加证明，直接 WA 了 3 发，浪费了很多时间。最后看了洛谷题解。

首先，同一个串内，如果有 () 可以直接消除。那么每个串都形如 )))((( 的形式，即一段前缀 ) 和一段后缀 ( 拼起来。

直接贪心，若左括号个数更多，将其放在第一类中，否则放在第二类。那么第一类显然放在第二类左侧。考虑第一类之间，右括号少的尽可能放在左侧；第二类之间，左括号少的尽可能放在右侧。

拼起来之后判一下合法即可。

https://atcoder.jp/contests/abc167/submissions/59133602

ARC179D#

题意：给定一棵 $N$ 个节点的树，要求在上面行走。可以进行下列操作，初始门和人在同一个任意节点：

• 从一个点移动到另一个点。

• 将门设置在当前节点

• 传送到门

第一个操作花费 1 代价，后两个操作不花费代价，要求将所有节点至少遍历一次，求最小代价。

$1\le N\le 2\times {10}^5$

解法：

解法：注意到一定是按照 DFN 序进行遍历。更具体地，每一次进入一个子树之后，在遍历完子树之前不会跳出来，因为不会更优。

遍历完子树回到父亲时，可以将门设置在父亲处，这样不会影响遍历兄弟。所以各子树是独立的，启示进行树形 DP。

注意到最后不必回到出发点，设 $f_u$ 表示遍历完 $u$ 子树不回到根，$g_u$ 表示遍历完 $u$ 子树而回到根。那么有转移

$$g_u=\sum min(g_v+2,h_v)$$

$$f_u=\sum min(g_v+2,h_v)+min(min(f_v+1,h_v)-min(g_v+2,h_v))$$

其中 $h_u$ 表示以 $2\times s{z}_u-maxde{p}_u-1$，叶子结点的 $maxdep$ 为 $0$。$h_u$ 意味着将传送门设置在 $u$ 节点，按照 dfn 序遍历完所有节点后停留在最深的节点，然后跳转到 $u$。

定根之后可以得到以根为起始点的答案。换根 DP 即可。但是很 shit。

Submissions

ARC189B#

好题。

给定一个长为 $N$ 的序列 $X_i$，可以进行任意次操作，每一次操作：

• 选定一个位置 $i$，记 $X_i$ 和 $X_{i+3}$ 的中点为 $M$，将 $X_{i+1}$ 和 $X_{i+2}$ 关于 $M$ 对称翻转。

求经过任意次操作后，所有 $X_i$ 的和的最小值。

$4\le N\le 2\times {10}^5$

$0\le X_1<X_2<\cdots <X_N\le {10}^{12}$

解法：

不知道哪个天才想到，这个操作的本质是将 $i+1$ 和 $i+3$ 的差分值交换。

于是操作变为将差分数组中奇偶性相同的两个位置交换。于是分成奇数和偶数分别排序，就能得到最小答案。

ARC190B#

有一个 $N\times N$ 的矩形，定义 $K$ 阶 $L$ 形为一个 $K\times K$ 的矩形的最左（或右）侧一行与最上（下）面一列组成的图形。显然使用 $1$ 到 $N$ 阶 $L$ 形个恰好一次可以将 $N\times N$ 的矩形覆盖。

给定 $a$ 和 $b$，有 $q$ 次询问，第 $i$ 次询问给定 $k_i$，求 $(a,b)$ 被 $k_i$ 阶 $L$ 形覆盖的方案数。

$1\le N\le {10}^7,1\le Q\le min\{N,2\times {10}^5\}$。

解法：

考虑 $1$ 到 $k$ 阶 $L$ 形必定组成一个 $k\times k$ 的矩形。

考虑 $(a,b)$ 出现在 $k$ 阶 $L$ 形上的条件：其必须在这个 $k\times k$ 的矩形的边上或角上。

考虑矩形内部的贡献：

• 当 $k=1$ 时，只有 $1$ 种方案。
• 当点在角上的时候，有 $3\times 4^{k-2}$ 种方案。
• 当点在边上的时候，有 $2\times 4^{k-2}$ 种方案。

再考虑矩形外部的方案数：每一个 $k+1$ 到 $n$ 阶的 $L$ 形可以选择在这个矩形的上面覆盖或下面覆盖，在矩形的左侧覆盖或右侧覆盖，且这两种选择独立。假设我们希望 $k\times k$ 矩形的左上角为 $(x,y)$，那么方案数就是 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{x-1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{y-1})$，即在未选择的 $L$ 形中选择一些放在左侧或上面。

矩形的左上角是什么呢？当 $(a,b)$ 在角上的时候，左上角显然是确定的，且只有 $O(1)$ 个，可以直接计算。

当 $(a,b)$ 在边上的时候，假设在 $k\times k$ 矩形的上边，其它情况同理。则矩形左上角为 $(a,i)$，需要满足 $b\in [i+1,i+k-2]$，即 $b+2-k\le i\le b-1$。列的方案数是 $\sum _{i=b+2-k}^{b-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{i-1})$，即 $\sum _{i=b+1-k}^{b-2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{i})$。即 $f_k$ 等于这个式子，那么总方案数是 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{a-1})f_k$。

考虑如何计算 $f_k$，$k$ 从大到小枚举，这是很经典的一行组合数的一个区间移动到下一行，只要乘二之后减去一些即可。

Submission

ARC193A - Complement Interval Graph（Difficulty: 1234）#

一开始看错题了，四十几分钟的时候模样例发现不对劲，仔细一看发现看成只能走相交的区间了。

容易发现，最多只会经过四个区间，只需要离线询问处理出满足一些限制的区间中 $w$ 最小的即可。

ARC193B - Broken Wheel（Difficulty: 2420）#

由于总度数一定，当 $0$ 到 $n-1$ 的入度确定时，$n$ 的度数被唯一确定。所以只需要关心 $0$ 到 $n-1$ 有多少种可能的度数序列。

先不考虑环边 $(n-1,0)$。设 $f_{i,0/1/2}$ 表示，已经确定了 $0$ 到 $i-1$ 的度数，有多少个合法的度数序列。合法的度数序列满足存在一种给 $(0,1),(1,2),\cdots ,(i-1,i)$ 这些边与所有形如 $(j<i,n)$ 的边定向的方式，使得 $0$ 到 $i-1$ 的度数与这个度数序列相等。

第二维的 $0$ 表示 $i-1$ 与 $i$ 之间的边定向为 $i-1\leftarrow i$，$1$ 表示定向为 $i-1\to i$，$2$ 表示两种定向方式都能使得度数序列合法。

考虑从 $i-1$ 转移到 $i$，那么需要确定 $i$ 与 $i-1$ 这条边的方向，此时会确定 $i-1$ 的度数。

考虑枚举 $i-1$ 的度数。若 $i-1$ 度数为 $0$，那么 $i-1$ 与 $i-2$ 之间的边必须为 $i-2\leftarrow i-1$，$i$ 与 $i-1$ 的边必须为 $i-1\leftarrow i$。故从 $f_{i-1,0/2}$ 转移到 $f_{i,0}$。

其它情况以此类推，注意考虑 $s_{i-1}=1$ 时，可能 $i$ 与 $i-1$ 之间的边两种都可以选择。即可得到转移。

最后考虑上环边。只要最开始枚举 $x$，令 $f_{0,x}\leftarrow 1$，最后 $f_{n,x}$ 就是答案。

还有一个问题是无论 $x$ 枚举的是多少，都会算到度数全部为 $1$ 的情况，这种情况会被算 $3$ 次，所以答案要减去 $2$。