3.2324物理强基小记

物理强基课

• 有人听强基课是听提高，有人听强基课是听水题，有人听强基课是听新课，怎么回事呢？

弹簧

类SHM

• SHM 中，都可以规约成 $E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2,E_k={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$

例1

$Q$ 固定，$q$ 穿在绝缘光滑杆，总长 $l$，一个小移动 $x$，$x<<l$

• Trick：$(1+x{)}^n=1+nx(x<<1)$

$$\begin{array}{rl}F& =k{\displaystyle \frac{Qq}{(l/2+x{)}^2}}-k{\displaystyle \frac{Qq}{(l/2-x{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{kQq}{(l/2{)}^2}}((1+2x/l{)}^{-2}-(1-2x/l{)}^{-2})\\ & =-{\displaystyle \frac{4kQq}{l^2}}{\displaystyle \frac{8x}{l}}=-{\displaystyle \frac{32kQqx}{l^3}}\\ & =-kx\\ k& ={\displaystyle \frac{32kQq}{l^3}}\end{array}$$

例2

$$\begin{array}{rl}{E}_p-0& =-W_t\\ F_h& =mg-k(s+x_0)=-k{x}_0\end{array}$$

例3

原长为势能 $0$ 点，一个小的变化量 $x$

$$\begin{array}{rl}0+0+0& =mgx\sin \theta +(-2mgx)+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}(3m)v^2\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}m{v}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}mgx& =0\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}m{v}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k(x-{\displaystyle \frac{3mg}{2k}}{)}^2& ={\displaystyle \frac{(3mg{)}^2}{8k}}\end{array}$$

类简谐运动？配方高妙

蹦极类型

从初中就开始学习了，加上一些图像让做题更简单（复杂）

$a-x$ 图像

图片少了个 $a_m$，为 $x_3$ 对应的纵坐标

$v:{\displaystyle \frac{v^2}{2}}-0={\displaystyle \frac{1}{2}}(x_1+x_2)g$

$a_m:{\displaystyle \frac{a_m}{g}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{S_b}{S_s}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}(x_1+x_2)g}{{\displaystyle \frac{1}{2}}(x_2-x_1)g}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{x_1+x_2}{x_2-x_1}}}$

$x_3:{\displaystyle \frac{1}{2}}(x_1+x_2)g={\displaystyle \frac{1}{2}}(x_3-x_2)a_m$

$x_3:mg=k(x2-x1),mg{x}_3={\displaystyle \frac{1}{2}}k(x_3-x_1{)}^2$

两体模型

给 $P$ 一个向左的速度 $v_0$，

$$\begin{array}{rl}{r}_c& ={\displaystyle \frac{m_p{r}_p+m_q{r}_q}{m_p+m_q}}\\ v_c& ={\displaystyle \frac{m_p{v}_p+m_q{v}_q}{m_p+m_q}}\\ a_c& ={\displaystyle \frac{m_p{a}_p+m_q{a}_q}{m_p+m_q}}\end{array}$$

其中 $r,v,a$ 均为向量，有方向

$P,Q$ 相对质心动量等大反向，整个过程中质心的速度不变

力学综合

微量移动证明

电荷量 $Q$，半径为 $R$，球壳表面的电荷之间将相互排斥；已知此带电球壳体系储存的静电能为 $E=k{\displaystyle \frac{Q^2}{2R}}$，求球壳单位面积上受到的排斥力

$$\begin{array}{rl}f\mathrm{\Delta }s\mathrm{\Delta }R& =-({\displaystyle \frac{k{Q}^2}{2(R+\mathrm{\Delta }R)}}-{\displaystyle \frac{k{Q}^2}{2R}})\\ f4\pi R^2\mathrm{\Delta }R& ={\displaystyle \frac{k{Q}^2}{2R}}-{\displaystyle \frac{k{Q}^2}{2R}}(1+{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }R}{R}}{)}^{-1}\\ f& ={\displaystyle \frac{k{Q}^2}{8\pi R^4}}\end{array}$$

运动轨迹

电场

一些基础的公式

单电子产生的球壳电场

电场的叠加是向量，电势的叠加是代数的叠加

例1

//什么情况怎么把缩放带上了

补全法处理

1.求 $N$ 点电场

$E_M+E_{M^{\prime }}=E_U={\displaystyle \frac{k(2q)}{O{M}^2}}$

$E_N=E_{M^{\prime }}=E_U-E_M={\displaystyle \frac{k(2q)}{4R^2}}-2E={\displaystyle \frac{kq}{2R^2}}-2E$

2.已知 ${\phi }_M$，求 ${\phi }_N$

${\phi }_M+{\phi }_{M^{\prime }}={\displaystyle \frac{k(2q)}{OM}}={\displaystyle \frac{kq}{R}}$

周期性问题

交变电压频率逐渐变大

$$\begin{array}{r}E={\displaystyle \frac{U_0}{d}}\\ a={\displaystyle \frac{qE}{m}}\\ d={\displaystyle \frac{1}{2}}a{t}^{2}d={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{q{U}_0}{md}}({\displaystyle \frac{1}{2f}}{)}^2(2n+1)\\ d=(2n){\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{q{U}_0}{md}}({\displaystyle \frac{1}{2f}}{)}^2\end{array}$$

等效重力场

给了一堆题自己看