Henceforth

区间所有子区间的最大子段和之和。

对 $r$ 扫描线。维护 $[i,r]$ 的最大子段和，做个历史和。

考虑以 $r$ 为右端点的最大子段和能更新的答案，对于一个区间 $[l,r]$，其能被更新仅当 $su{m}_r-\underset{i=l-1}{\overset{r-1}{min}}su{m}_i>an{s}_l$ 即 $an{s}_l+\underset{i=l-1}{\overset{r-1}{min}}su{m}_i<su{m}_r$。

可证明 $an{s}_l+\underset{i=l-1}{\overset{r-1}{min}}su{m}_i$ 前面这部分关于 $l$ 递减。考虑答案组成是 $\underset{j<i}{max}su{m}_i-su{m}_j$，可简单放缩证明。

于是可以二分出这个 $<$ 的分界线，修改为一段后缀。现在相当于要支持的操作是，区间赋值 $a$，区间令 $b=k-a$，区间查询 $b$ 历史和。还有维护个区间 $b$ 最小值。

维护矩阵 $\left[\begin{array}{cccc}suma& sumb& hsum& len\end{array}\right]$。

区间赋值 $a$ 即乘上

$$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ k& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

区间令 $b=k-a$ 即乘上

$$\left[\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& k& 0& 1\end{array}\right]$$

更新一次历史和即乘上

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$