Prufer 序列

以下 \(d_i\) 表示 \(i\) 的度数。

Prufer 序列完成了一个有标号无根树与序列的双射。长度为 \(n-2\) 的值域 \([1,n]\) 的序列一一对应一棵 \(n\) 个点的有标号无根树。

构建序列的方式就是每次找编号最小的叶节点，然后把它连接的点加入序列，然后删掉这个叶节点。

原因是什么我也不会证，貌似也不需要会证（？）

有几个结论，在与数树相关的题目时会比较有用。

• \(n\) 个点的有标号无根树有 \(n^{n-2}\) 棵，有标号有根树有 \(n^{n-1}\) 棵。

• Prufer 序列中 \(u\) 出现的次数为 \(d_u-1\)。

• 构建 Prufer 序列最后没删掉的点其中有一个为 \(n\)。

然后你可以有一些经典的套路，比如每个点度数确定后的无根树计数，答案为 \(\dbinom{n-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots,d_n-1}=\dfrac{(n-2)!}{\prod\limits_{i=1}^n (d_i-1)!}\)。