Prufer 序列

以下 $d_i$ 表示 $i$ 的度数。

Prufer 序列完成了一个有标号无根树与序列的双射。长度为 $n-2$ 的值域 $[1,n]$ 的序列一一对应一棵 $n$ 个点的有标号无根树。

构建序列的方式就是每次找编号最小的叶节点，然后把它连接的点加入序列，然后删掉这个叶节点。

原因是什么我也不会证，貌似也不需要会证（？）

有几个结论，在与数树相关的题目时会比较有用。

• $n$ 个点的有标号无根树有 $n^{n-2}$ 棵，有标号有根树有 $n^{n-1}$ 棵。

• Prufer 序列中 $u$ 出现的次数为 $d_u-1$。

• 构建 Prufer 序列最后没删掉的点其中有一个为 $n$。

然后你可以有一些经典的套路，比如每个点度数确定后的无根树计数，答案为 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots ,d_n-1})}={\displaystyle \frac{(n-2)!}{\prod _{i=1}^n(d_i-1)!}}$。