题解 CF385C Bear and Prime Numbers

$\mathtt{\text{link}}$

题意

给出一个长度为 $n$ 的序列 $a$，定义 $f(p)=\sum _{i=1}^n\left[p|a_i\right]$，$m$ 次询问，求 $\sum _{i=l}^{r}f(i)[i\in \mathbf{Prime}]$。

数据范围：$1\le n\le {10}^6,1\le m\le 5\times {10}^4,1\le a_i\le {10}^7,1\le l\le r\le 2\times {10}^9$

题解

令 $cn{t}_i=f(i)$。

因为 $a_i\le {10}^7$，所以 $l,r$ 超过这个范围便没意义了。

令 $m{n}_i=min\{k\in \mathbf{Prime}\wedge k|i\}$，线性筛搞出来。

扫一遍原序列，每次令 $a_i\leftarrow \frac{a_i}{m{n}_{a_i}}$，并加在 $cn{t}_{m{n}_{a_i}}$ 上，因为 $m{n}_{a_i}\ge 2$，所以最多 ${\log }_{a_i}$ 次就除完，复杂度 $O(n\log a_i)$。

令 $su{m}_i=\sum _{i=1}^{i}cn{t}_i$，查询 $[l,r]$ 答案即为 $su{m}_r-su{m}_{l-1}$。

时间复杂度 $O(n\log a_i+q)$。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10, W = 1e7 + 10;
int prime[W], mn[W], cnt;
bitset<W> isp;
void sieve(int n) {
	mn[1] = isp[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++) {
		if(!isp[i]) prime[++cnt] = i, mn[i] = i;
		for(int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= n; j++) {
			isp[prime[j] * i] = 1;
			if(!(i % prime[j])) {
				mn[prime[j] * i] = prime[j];
				break;
			}
			mn[prime[j] * i] = prime[j];
		}
	}
}
int n, m;
ll f[W];
int main() {
	sieve(1e7);
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1, a; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a);
		while(a > 1) {
			int t = mn[a];
			f[t]++;
			while(!(a % t)) a /= t;
		}
	}
	for(int i = 1; i <= 1e7; i++)
		f[i] += f[i - 1];
	scanf("%d", &m);
	int l, r;
	while(m--) {
		scanf("%d%d", &l, &r);
		r = min(10000000, r);
		if(l > r) {
			puts("0");
			continue;
		}
		printf("%lld\n", f[r] - f[l - 1]);
	} 
	return 0;
}