题解 CF1221G Graph And Numbers

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题意

给一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，要求对每个点赋权值为 $0$ 或 $1$，每条边的边权为其两个端点权值和。

一种赋权方案合法当且仅当边权为 $0$，边权为 $1$，边权为 $2$ 的边均存在。求合法的方案数。

$1\le n\le 40,0\le m\le \frac{n(n-1)}{2}$

题解

特判 $m=0$。

把所有未连边的点删掉，它们可以任意取，若有 $c$ 个这样的点，答案乘上 $2^c$ 即可，以下的 $n$ 即 $n-c$。

容斥一下，令 $f_S$ 表示保证 $S$ 中的边权不存在的方案，则 $ans=\sum _{S\in \{0,1,2\}}(-1{)}^{\left|S\right|}f(S)$，依次处理即可。

发现不同连通块应该分开考虑，记 $p$ 为连通块个数。

$f(\varnothing )$：显然 $f(\varnothing )=2^n$。

$f(\{0\})$：整道题的核心。即不存在某条边两端点权均为 $0$。

$n\le 20$ 可以直接 $O(2^{n}m)$ 判断，现在是 $n\le 40$，启发我们 meet-in-the-middle。

$m$ 个点划分为两个点集，将前 $B$ 个点暴力枚举出 $2^B$ 种情况，判断前 $B$ 个点内部的边是否合法，令 $g_S$ 表示前 $B$ 个点钦定选 $0$ 的点集为 $S$ 是否合法，若合法则 $g_S=1$，否则 $g_S=0$。

后 $n-B$ 个点同样枚举 $2^{n-B}$ 种情况并判断后 $n-B$ 个点内部的边是否合法，若合法，则考虑连接两个点集的边，在前 $B$ 个点中会有若干个点被钦定不能选 $0$，设这些点组成的集合为 $T$，则这种情况对应前 $B$ 个点的方案数有 $\sum _{S\in {\complement }_{U}T}{g}_S$，对 $g$ 做子集求和，FWT 即可。

$f(\{1\})$：即不存在某条边两端点权不同，所以一个连通块内每个点权值相等，故 $f(\{1\})=2^p$。

$f(\{2\})$：与 $f(\{0\})$ 对称。

$f(\{0,1\})$：即不存在权值为 $0$ 的点，只能全部赋 $1$，$f(\{0,1\})=1$。

$f(\{0,2\})$：即不存在某条边两端点权相同，判断每个连通块是否是二分图即可，每个二分图左右部点互换是 $2$ 种方案。若每个连通块都是二分图，则 $f(\{0,2\})=2^p$，否则 $f(\{0,2\})=0$。

$f(\{1,2\})$：与 $f(\{0,1\})$ 对称。

$f(\{0,1,2\})$：显然 $f(\{0,1,2\})=0$。

令 $B=\frac{n}{2}$，时间复杂度为 $O(2^{\frac{n}{2}}m)$。