题解 CF1523H Hopping Around the Array

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题意

数轴上有 $n$ 个点，每个点有属性 $a_i$，在第 $i$ 个点可以花费 $1$ 的步数移动至 $[i,i+a_i]$ 中任意一个点。定义一次操作为选出一个 $i$，使 $a_i\leftarrow a_i+1$。

$q$ 组询问，每次给出 $l,r,k$，求有 $k$ 次操作机会时，从第 $l$ 个点走到第 $r$ 个点的最小步数。各组询问相互独立，即操作没有后效性。

$1\le n,q\le 2\times {10}^4,1\le a_i\le n,0\le k\le 30$

题解

可以先想一个暴力，用 $f_{i,j,k}$ 表示从 $i$ 出发，走 $j$ 步，至多操作了 $k$ 次时能走到的最远点，查询时只需在 $f_{l,x,k}$ 上二分 $x$ 即可，依据是每次转移是连续的，跳到一个大于 $r$ 的点必定可以跳到 $r$。

由此有转移方程 $f_{i,j,k}=\underset{k_1+k_2=k}{max}\{\underset{s=i}{\overset{f_{i,j-1,k_1}}{max}}\{s+a_s+k_2\}\}$，原因也是能从若 $i$ 走到 $x$，那 $[i,x]$ 中的每个点都必定可以经过，即在其中取下一步的最远点，这个过程是 RMQ 问题，用 ST 表优化。

这样转移状态是 $O(n^{2}k)$ 的，发现查询时的二分本质上就是步数的倍增，我们只关注走了 $2^j$ 步的情况，改变 $f$ 定义，$f_{i,j,k}$ 表示从 $i$ 出发，走 $2^j$ 步，至多操作了 $k$ 次时能走到的最远点。转移方程为 $f_{i,j,k}=\underset{k_1+k_2=k}{max}\{\underset{s=i}{\overset{f_{i,j-1,k_1}}{max}}{f}_{s,j-1,k_2}\}$，初始化 $f_{i,0,k}=i+a_i+k$，直接枚举 $k_1,k_2$ 转移，用 ST 表可做到 $O(n{k}^2\log n+nk{\log }^{2}n)$ 预处理。

对于每次询问，类似倍增求树上 $k$ 级祖先，从 $\log n$ 位开始从大到小考虑，令 $g_{j,k}$ 表示考虑完 $[j,\log n]$ 位，至多操作了 $k$ 次时，$l$ 能去到最远位置，若对于所有 $k$，均满足 $\underset{k_1+k_2=k}{max}\{\underset{s=l}{\overset{g_{j+1,k_1}}{max}}{f}_{s,j,k_2}\}<r$，说明不存在任何转移方式可以通过这 $2^j$ 步走到 $r$，换言之这 $2^j$ 步是必走的，于是答案加上 $2^j$，并更新 $g_{j,k}=\underset{k_1+k_2=k}{max}\{\underset{s=i}{\overset{g_{j+1,k_1}}{max}}{f}_{s,j,k_2}\}$，否则这 $2^j$ 步是不必要的，答案不变，并让 $g_{j,k}=g_{j+1,k}$。

你发现每次询问都要预处理 $\log n$ 次 ST 表，单次查询复杂度是糟糕的 $O(nk{\log }^{2}n)$，但是对于每组询问，$f$ 是不变的，不必每次都预处理，于是把询问离线下来，对于每个 $j$ 把每组询问都更新一遍即可。

总时间复杂度 $O((n+q)(k^2\log n+k{\log }^{2}n))$，空间复杂度 $O(nk\log n)$。

注意空间访问尽量连续，不知道会不会卡常。