题解 CF983D Arkady and Rectangles

题意

平面直角坐标系上给定 $n$ 个矩形，第 $i$ 个矩形颜色为 $i$ ，颜色大的矩形将覆盖颜色小的矩形，问最后能看到几种颜色。

$1 \leq n \leq 10^{5}, | x_{i} |, | y_{i} | \leq 10^{9}$

题解

首先离散化，考虑扫描线如何维护序列上的颜色。

一个区间 $[l, r]$ 投射到线段树上 $O (\log n)$ 个不交区间，总共 $O (n \log n)$ 个。对于每个区间，直接把每种颜色塞到一个 set 里，当前区间可能被看到的颜色只会是 set 最大值，记为 $v_{x}$ 。

考虑只插入怎么做，发现 $i$ 处的颜色即线段树上根节点到 $[i, i]$ 路径上每个 $v_{x}$ 取 $max$ ，那我在一个被颜色 $c$ 完全覆盖的区间 $[l, r]$ 上，若根到 $[l, r]$ 路径上的 $max v_{x}$ 小于 $c$ ，且存在该节点到某一叶节点的路径 $max v_{x}$ 也小于 $c$ ，说明 $c$ 可被看到，于是在线段树上维护 $m n_{x}$ 表示所有 $x$ 到叶节点的路径 $max v_{x}$ 的最小值，即可 $O (1)$ 判断，每次最多增加 $1$ 个新颜色。

现在加入删除操作，一个区间的删除可能会增加更多可被看到的颜色，但答案最多 $O (n)$ 个，那我设法只考虑没被看过的颜色，用 $m x_{x}$ 表示以 $x$ 为根的子树，没被统计过且可能会被看见的最大颜色，从 $[l, r]$ 中删掉颜色 $c$ ，重新计算 $v_{x}$ 。pushup 时先继承左右儿子，考虑 $v_{x}$ 对 $m n_{x}$ 和 $m x_{x}$ 的贡献，分两种情况：

若 $v_{x}$ 已被统计过， $m n_{x} \leftarrow max (m n_{x}, v_{x})$ 。
若 $v_{x}$ 未被统计过， $m x_{x} \leftarrow max (m x_{x}, v_{x})$ 。

若 $m n_{x} > m x_{x}$ ，即当前区间可能会被看见的最大颜色比 $[l, r]$ 中已被看见的最小颜色还小，越往上走 $m n_{x}$ 只增不减，自然看不见 $m x_{x}$ 了，令 $m x_{x} \leftarrow 0$ 。

若 $m x_{1} \neq 0$ ，说明出现了一种从未被看见的颜色被看到了，标记为已看见，并把 $m x_{1}$ 对应的 $O (\log n)$ 个区间拉出来修改信息。若修改后 $m x_{1}$ 仍不为 $0$ ，就继续修改，直到 $m x_{1} = 0$ 。因为最多只有 $n$ 个颜色，所以总修改次数最多 $n$ 次。