题解 CF725G Messages on a Tree

update on 2023.8.9 修正了一些错误。

第 $i$ 条信息的传输可以表示成 $x_{i}$ 走到 $x_{i}$ 的某一祖先再走回 $x_{i}$ 的路径。所以答案只和 $x_{i}$ 的这一祖先有关，记为 $f_{i}$ ，则 $a n s_{i} = t_{i} + 2 \times d e p_{x_{i}} - 2 \times d e p_{f_{i}}$ 。

若 $x_{i}$ 在 $f_{i}$ 停下，说明更早的时刻（或同一时刻但编号更小），有 $x_{j}$ 经过了 $f_{i}$ ，且到现在它也没回来。

于是有

{\begin{cases} (t_{i} + d e p_{x_{i}} - d e p_{f_{i}}, x_{i}) > (t_{j} + d e p_{x_{j}} - d e p_{f_{i}}, x_{j}) \\ t_{i} + d e p_{x_{i}} - d e p_{f_{i}} < t_{j} + d e p_{x_{j}} + d e p_{f_{i}} - 2 \times d e p_{f_{j}} \end{cases}

二元组大小比较以第一项为第一关键字，第二项为第二关键字。

整理得

{\begin{cases} (t_{i} + d e p_{x_{i}}, x_{i}) > (t_{j} + d e p_{x_{j}}, x_{j}) \\ t_{i} + d e p_{x_{i}} < t_{j} + d e p_{x_{j}} + 2 \times d e p_{f_{i}} - 2 \times d e p_{f_{j}} \end{cases}

这是个二维偏序，把信息按 $(t_{i} + d e p_{x_{i}}, x_{i})$ 排序，依次加入，即可满足第一条关系。

对于第二条关系，我们应该顺着根到 $x_{i}$ 的路径向上爬，直到第一个节点 $u$ ，满足 $t_{i} + d e p_{x_{i}} < t_{j} + d e p_{x_{j}} + 2 \times d e p_{u} - 2 \times d e p_{f_{j}}$ 。所以对于树上每个点 $u$ ，维护 $g_{u}$ 表示经过点 $u$ 的点 $x_{j}$ 中， $t_{j} + d e p_{x_{j}} - 2 \times d e p_{f_{j}}$ 的最大值。于是只需找最深度最大的 $x_{i}$ 的祖先，满足 $t_{i} + d e p_{x_{i}} < g_{u} + 2 \times d e p_{u}$ 。树剖，维护 $max (g_{u} + 2 \times d e p_{u})$ ，然后线段树二分即可。算出 $f_{i}$ 后更新路径上最大值。