题解 CF963E Circles of Waiting

令 $f_{i,j}$ 表示 $(i,j)$ 走出以 $(0,0)$ 为圆心，半径为 $R$ 的期望步数，显然所有在圆外的点 $(i,j)$ 满足 $f_{i,j}=0$。

有 $f_{i,j}=p_1{f}_{i-1,j}+p_2{f}_{i,j-1}+p_3{f}_{i+1,j}+p_4{f}_{i,j+1}$。

这东西很套路，高斯消元就行，但状态数是 $O(R^2)$ 的，复杂度 $O(R^6)$。

考虑主元法，只用 $O(R)$ 个参数表示 $O(R^2)$ 个点，尝试将每行最左边的 $2R+1$ 个数拉出来当主元。

因为

$$f_{i,j}=p_1{f}_{i-1,j}+p_2{f}_{i,j-1}+p_3{f}_{i+1,j}+p_4{f}_{i,j+1}$$

所以有

$$f_{i+1,j}={\displaystyle \frac{f_{i,j}-p_1{f}_{i-1,j}-p_2{f}_{i,j-1}-p_4{f}_{i,j+1}}{p_3}}$$

即

$$f_{i,j}={\displaystyle \frac{f_{i-1,j}-p_1{f}_{i-2,j}-p_2{f}_{i-1,j-1}-p_4{f}_{i-1,j+1}}{p_3}}$$

从左往右推即可。

对于每行右边第一个走出圆的点，利用其 $f$ 值为 $0$，共可列出 $2R+1$ 个方程，现在再去高斯消元就是 $O(R^3)$ 的。