杂题笔记

• XSY5208 odekeke

先考虑 $c=0$ 怎么做。

直接 DP 非常困难，发现一个球放 A 还是 B 的决策与放圆洞还是方洞的决策互相独立，可以求出两种决策的方案数再乘起来。$f_i$ 表示 A 总重量为 $i$ 的方案数，$g_i$ 表示方洞总重量为 $i$ 的方案数，做 01 背包。合法的方案判一下各个限制即可。

$c=1$ 显然是考虑删掉一个数后的背包，对于每个数算一下删掉后的答案即可。

• XSY5206 bracket

容易发现，答案与这个括号串的构成无关，我们只需考虑一个区间内是否构成合法串即可。

$[l,r]$ 合法当且仅当以下三个条件成立：

• $r-l+1$ 为偶数。

• 当所有 ? 均填上 ( 时，没有多余的 )。

• 当所有 ? 均填上 ) 时，没有多余的 (。

必要性显然，充分性证明可以先将串中所有 ( 在 ) 左侧的括号成对删掉，这显然不影响判断。可以构成一个形如 )?)??))?(((??? 的串，若中间部分长度为奇数，则两边至少有一个括号无法匹配（因为整个串是偶数，两边匹配后也应为偶数），否则按如上的条件判断，若符合则左右两边都必定可以构造。

发现对于同一个 $l$，合法的 $r$ 是以 $l$ 开始的一段连续区间，对于同一个 $r$，合法的 $l$ 是以 $r$ 结束的一段连续区间，于是可以直接 dp。$R_i$ 表示当 $l=i$ 时满足条件 $2$ 的最大的 $r$，$L_i$ 表示当 $r=i$ 时满足条件 $3$ 的最小的合法的 $l$，$f_i$ 表示考虑前 $i$ 个字符的答案，有转移 $f_i=max(f_{i-1},\underset{R_j\ge i,L_i\le j}{max}{f}_{j-1}+a[i-(j-1)]+b)$，线段树维护 $max(f_j-aj)$ 即可。

• XSY 5218 perm

考虑每次操作本质是什么，发现对于 $(i,p_i)$，操作 $1$ 后变为 $(i\mathrm{xor}{2}^{n-1},p_i)$，操作 $2$ 后是变为 $(rev(i),p_i)$，其中 $rev(i)$ 表示 $i$ 循环移位后的结果。

于是枚举循环移位多少次，之后可达的序列就是对下标异或上任意一个数后的结果。现在要最小化下标异或上一个数的逆序对数，发现第 $i$ 位异或 $1$ 即交换相邻的长度为 $2^i$ 的区间，这个过程可以归并排序时求出，且下层交换不会影响上层，对每一层交换或不交换的情况取 $min$ 再求和即可。