历史和

之前尝试了推 tag 的方法，感觉对我还是难度太大。

现在才发现用矩阵乘法直观很多。要被卡常可以手拆矩乘减小常数了。

• 区间加，区间历史和。

线段树上维护向量 $\left[\begin{array}{ccc}sum& hsum& len\end{array}\right]$。

区间加即乘上矩阵

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ v& 0& 1\end{array}\right]$$

更新历史和即乘上矩阵

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

发现有值的位置只有 $7$ 个，可以拆开维护，本质和推 tag 一样。

• $0,1$ 序列，区间异或，区间历史和。

线段树上维护向量 $\left[\begin{array}{ccc}s0& s1& hsum\end{array}\right]$。

区间异或即乘上矩阵

$$\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

更新历史和即乘上矩阵

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$