テレキャスタービーボーイ

CF923E

令 $f_{i,j}$ 表示 $i$ 轮后 $x=j$ 的概率，有 $f_{i,j}=\sum _{k=j}^n{\displaystyle \frac{1}{k+1}}{f}_{i-1,k},f_{0,i}=p_i$。

然后写出 $f_i$ 的生成函数 $F(i,x)$，有

$$\begin{array}{rl}F(i,x)& =\sum _{j=0}^n{f}_{i,j}{x}^j\\ & =\sum _{j=0}^n\left(\sum _{k=j}^n\frac{1}{k+1}{f}_{i-1,k}\right)x^j\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{1}{k+1}{f}_{i-1,k}\sum _{j=0}^k{x}^j\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{1}{k+1}{f}_{i-1,k}\frac{x^{k+1}-1}{x-1}\\ & =\frac{1}{x-1}\sum _{k=0}^n{f}_{i-1,k}\frac{x^{k+1}-1}{k+1}\end{array}$$

现在想把式子统一成 $x^k$ 的形式，一个想法是利用积分。

$$\begin{array}{rl}F(i,x)& =\frac{1}{x-1}\sum _{k=0}^n{f}_{i-1,k}{\int }_1^x{x}^k\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{x-1}{\int }_1^x\sum _{k=0}^n{f}_{i-1,k}{x}^k\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{x-1}{\int }_1^{x}F(i-1,x)\mathrm{d}x\end{array}$$

令 $G(i,x)=F(i,x+1)$，设 $G(i,x)=\sum _{k=0}^n{g}_{i,k}{x}^k$，有

$$\begin{array}{rl}G(i,x)& =F(i,x+1)\\ & =\frac{1}{x}{\int }_1^{x+1}F(i-1,x+1)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{x}{\int }_0^{x}G(i-1,x)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{x}{\int }_0^x\sum _{k=0}^n{g}_{i-1,k}{x}^k\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{x}\sum _{k=0}^n\frac{g_{i-1,k}}{k+1}{x}^{k+1}\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{g_{i-1,k}}{k+1}{x}^k\end{array}$$

所以 $g_{i,k}={\displaystyle \frac{g_{i-1,k}}{k+1}}$，即 $g_{m,k}={\displaystyle \frac{g_{0,k}}{(k+1{)}^m}}$。

于是我们只需要完成 $F(0,x)\to G(0,x)$ 和 $G(m,x)\to F(m,x)$ 即可。

$$\begin{array}{rl}G(0,x)& =\sum _{i=0}^n{f}_{0,i}(x+1{)}^i=\sum _{i=0}^n{p}_i\sum _{j=0}^i{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})}{x}^j\\ & =\sum _{j=0}^n\left[\sum _{i=j}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})}{p}_i\right]x^j\end{array}$$

所以 $g_{0,i}=\sum _{j=i}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})}{p}_j$。

展开组合数得 $g_{0,i}=\sum _{j=i}^n{\displaystyle \frac{j!}{(j-i)!i!}}{p}_j={\displaystyle \frac{1}{i!}}\sum _{j=i}^n{\displaystyle \frac{1}{(j-i)!}}\cdot j!p_j$

令 $a_i={\displaystyle \frac{1}{i!}},b_i=i!p_i$，有 $g_{0,i}={\displaystyle \frac{1}{i!}}\sum _{j-k=i}{b}_j{a}_k$，这是差卷积形式，直接 NTT 即可。

同理有 $g_{m,i}=\sum _{j=i}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})}{f}_{m,j}$。

二项式反演得 $f_{m,i}=\sum _{j=i}^n(-1{)}^{j-i}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})}{g}_{m,j}$。

令 $a_i={\displaystyle \frac{(-1{)}^i}{i!}},b_i=i!g_{m,i}$，有 $f_{m,i}={\displaystyle \frac{1}{i!}}\sum _{j-k=i}{b}_j{a}_k$。同上。