题解 CF932F Escape Through Leaf

update 2021.10.13：修正了某些错误。

很有意思的一道题，总算调出来了，分享下自己的思路。

显然可以树形 DP， $f_{i}$ 表示节点 $i$ 的答案，有转移方程 $f_{u} = min (f_{v} + a_{u} b_{v}), v \in subtree (u)$

这样就有了个 $O (n^{2})$ 的做法，考虑能否用 DS 优化 DP。

观察到有 $f_{v} + a_{u} b_{v}$ 这一形式，若把 $f_{v}$ 视为截距， $a_{u}$ 视作要求值的点， $b_{v}$ 视为斜率，发现与一次函数 $k x + b$ 的形式很相似，可以把其看成一条直线。

于是问题转化为在若干直线中，求 $x = a_{u}$ 时最小值所对应直线。

维护若干直线某点最值，可以对于每个点，开一棵李超线段树，但若每到一个新节点，都重新建树，复杂度仍不能接受。

令 $m n_{u} (x)$ 表示对于点 $u$ 的直线集在 $x$ 处的最小值，发现 $m n_{u} (x) = min (m n_{v} (x)), v \in son (u)$ ，可以用线段树合并维护最小值，这样做的复杂度可以通过摊到 $O (n \log n)$ ，具体证明可以看下这篇题解。

有很多题解说要平移值域，事实上李超线段树合并不需要平移值域，正常写就好了。

然后直接套板子就好了，~~我人傻常数大跑了 12.22s~~。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, W = 1e5;
int n, a[N], b[N];
ll f[N];
struct edge {
    int to, nxt;
} e[N << 1];
int head[N], cnt;
void add(int u, int v) {
    e[++cnt] = (edge){v, head[u]};
    head[u] = cnt;
}
struct line {
    ll k, b;
    int id;
} t[N << 2];
ll calc(line x, int d) { return x.k * d + x.b; }
ll cross(line x, line y) { return (x.b - y.b) / (y.k - x.k); }
int rt[N * 20], ls[N * 20], rs[N * 20], tot;
void insert(int &x, int l, int r, line s) {
    if(!x) x = ++tot;
    int mid = l + r >> 1;
    if(calc(t[x], mid) > calc(s, mid) || !t[x].id) swap(t[x], s);
    if(l == r || t[x].k == s.k || !s.id) return;
    ll p = cross(t[x], s);
    if(p < l || p > r) return;
    if(s.k > t[x].k) insert(ls[x], l, mid, s);
    else insert(rs[x], mid + 1, r, s);
}
int merge(int x, int y, int l, int r) {
    if(!x || !y) return x + y;
    insert(x, l, r, t[y]);
    int mid = l + r >> 1;
    ls[x] = merge(ls[x], ls[y], l, mid);
    rs[x] = merge(rs[x], rs[y], mid + 1, r);
    return x;
}
line query(int x, int l, int r, int p) {
    if(l == r) return t[x];
    int mid = l + r >> 1;
    line res;
    if(mid >= p) res = query(ls[x], l, mid, p);
    else res = query(rs[x], mid + 1, r, p);
    if(!res.id || calc(t[x], p) < calc(res, p)) return t[x];
    return res;
}
void dfs(int u, int fa) {
    for(int i = head[u], v; i; i = e[i].nxt) {
        v = e[i].to;
        if(v == fa) continue;
        dfs(v, u);
        rt[u] = merge(rt[u], rt[v], -W, W);
    }
    int mn = query(rt[u], -W, W, a[u]).id;
    f[u] = 1ll * a[u] * b[mn] + f[mn];
    insert(rt[u], -W, W, (line){b[u], f[u], u});
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &b[i]);
    for(int i = 1, u, v; i < n; i++) {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        add(u, v), add(v, u);
    }
    dfs(1, 0);
    for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%lld ", f[i]);
    return 0;
}