题解 P2673 《瞿葩的数字游戏》T1-数字王国的门神

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题意

求 $\sum _{i=1}^n{f}_i\times {10}^{n-i},n\to \mathrm{\infty }$ 在十进制下的自高到低第 $l$ 位到第 $r$ 位，其中 $f$ 为 Fibonacci 数列。

数据范围：$10\le l\le r\le 2\times {10}^5,r-l+1\le 2\times {10}^3$

题解

奇妙的结论题。

因为 $f_0=0$，不妨把原式表为 $\sum _{i=0}^n{f}_i\times {10}^{n-i}$。

观察式子的形式，感觉和 Fibonacci 数列 OGF 有点关系。

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=0}^n{f}_i\times {10}^{n-i}& ={10}^n\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_i\times {10}^{-i}\\ & ={10}^n\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_i\times ({10}^{-1}{)}^i\end{array}$$

发现右边这部分就是 Fibonacci 数列的 OGF $F(x)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_i{x}^i$，众所周知 $F(x)={\displaystyle \frac{x}{1-x-x^2}}$，把 ${10}^{-1}$ 带进去，算出是 ${\displaystyle \frac{10}{89}}\times {10}^n$，感性理解后发现答案即为 ${\displaystyle \frac{10}{89}}$ 小数点后第 $l$ 到第 $r$ 位。

这里证一下 Fibonacci 数列的 OGF $F(x)={\displaystyle \frac{x}{1-x-x^2}}$。

$f_i=\{\begin{array}{ll}0& i=0\\ 1& i=1\\ f_{i-1}+f_{i-2}& i>1\end{array}$，令 $A=F(x)$，根据小学知识，我们可以有这样的变换：

$$A=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_i{x}^i$$$$xA=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_i{x}^{i+1}\Rightarrow xA=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_{i-1}{x}^i$$$$x^{2}A=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_i{x}^{i+2}\Rightarrow x^{2}A=\sum _{i=2}^{\mathrm{\infty }}{f}_{i-2}{x}^i$$

$$\begin{array}{rl}\therefore xA+x^{2}A& =f_{0}x+\sum _{i=2}^{\mathrm{\infty }}(f_{i-1}+f_{i-2})x^i\\ & =f_{0}x+\sum _{i=2}^{\mathrm{\infty }}{f}_i{x}^i\\ & =\sum _{i=2}^{\mathrm{\infty }}{f}_i{x}^i\\ & =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_i{x}_i-f_0-f_{1}x\\ & =A-x\end{array}$$

$$\therefore A-xA-x^{2}A=x$$$$\therefore (1-x-x^2)A=x$$$$\therefore A={\displaystyle \frac{x}{1-x-x^2}}$$

即 $F(x)={\displaystyle \frac{x}{1-x-x^2}}$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int l, r;
int main() {
    scanf("%d%d", &l, &r);
    int x = 10;
    for(int i = 1; i <= r; i++) {
        if(i >= l) printf("%d", x * 10 / 89);
        x = x * 10 % 89;
    }
    return 0;
}