斯特林数学习笔记

第一类斯特林数，记为 $[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}]$ ，表示 $n$ 个元素划为 $k$ 个圆排列的方案数。

递推式为 $[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}] = [\begin{matrix} n - 1 \\ k - 1 \end{matrix}] + (n - 1) [\begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}]$ ，边界条件是 $[\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}] = [n = 0]$ 。

第二类斯特林数，记为 ${\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}}$ ，表示 $n$ 个元素划分为 $k$ 个互不相交且互不区分的集合方案数。

递推式为 ${\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}} = {\begin{matrix} n - 1 \\ k - 1 \end{matrix}} + k {\begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}}$ ，边界条件是 ${\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}} = [n = 0]$ 。

考虑组合意义易证。

通项公式是 ${\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}} = \frac{1}{k!} \sum_{i = 0}^{k} (- 1)^{i} (\binom{k}{i}) (k - i)^{n}$

证明不难，现在懒得写。

【ZOJ3899】State Reversing

线段树维护， $O (n \log n)$ 预处理所谓第二类斯特林数行。

【HDU4372】Count the Buildings

找出 $n$ 的位置，把 $n$ 左边和右边分成 $f - 1$ 组和 $b - 1$ 组，每组将最大值放在外侧，因为保证组和组间最大值单调递增，所以选定如何分组后顺序会确定，然后要在这些组找出一些放在左边，一些放在右边，所以答案为 $[\begin{matrix} n - 1 \\ f + b - 2 \end{matrix}] \cdot (\binom{f + b - 2}{f - 1})$ 。