题解 CF407C Curious Array

这个题我觉得还挺有趣的。

推式子发现走不通，如果分开考虑，我甚至对于每个数最后计算都很困难。只能考虑组合数间的递推关系。因为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1})$，这个题的 $n$ 又是连续递增的，考虑差分试试。

发现每次加的就是 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{k}),(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{k}),\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-l}{k})$，令 ${\mathrm{\Delta }}_i^{(1)}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+i}{k})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+i-1}{k})$，发现 ${\mathrm{\Delta }}_i^{(1)}={\mathrm{\Delta }}_{i-1}^{(1)}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+i-1}{k-1})$，令 ${\mathrm{\Delta }}_i^{(2)}={\mathrm{\Delta }}_i^{(1)}-{\mathrm{\Delta }}_{i-1}^{(1)}$，现在变成了在 ${\mathrm{\Delta }}^{(2)}$ 上区间加 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+i-1}{k-1})$ 了，我们通过一次差分，使问题的 $k$ 减小了 $1$。依此类推 ${\mathrm{\Delta }}^{(3)},{\mathrm{\Delta }}^{(4)},\cdots ,{\mathrm{\Delta }}^{(k)}$。

因为 $k\le 100$，所以最多 $100$ 次可以使 $k$ 变为 $0$，这时就变成区间 $+1$ 了，再差分一次就结束。

每次要在差分序列上 $r+1$ 位减去 $[l,r]$ 所有新加的值之和，保证差分的正确性，而这个区间和恰是上一个差分序列第 $r$ 位的值，即一个确定的组合数，预处理即可。

时空复杂度 $O(nk+mk)$。