题解 [ARC096E] Everything on It

考虑容斥，令 $f(k)$ 表示至少有 $k$ 个物品在少于两个子集中出现的方案数，这是组合容斥，$ans=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{k}f(k)$。

考虑如何求 $f(k)$，首先要钦定选的 $k$ 个物品，即 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$。发现无论如何这都与所选的集合数量有关，且这也是 $O(n)$ 级别的，因为每个物品至多被一个集合包含（我开始以为所选集合数量是 $O(2^n)$ 的，觉得很困难），令 $g(k,i)$ 表示这 $k$ 个物品所在的集合恰有 $i$ 个的方案数，则 $f(k)={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}\sum _{i=0}^{k}g(k,i)$。

考虑 $g(k,i)$ 如何求，将 $k$ 个数放进 $i$ 个集合，允许不放，这很像第二类斯特林数，但是允许不放，可以让集合数量 $+1$，不放的全放进该集合内，但也可以全都不放，这与第二类斯特林数的非空集合条件矛盾，所以让划分的数 $+1$，与最后一个数在同一个集合的就是不放的数，即 $\left\{\begin{array}{c}k+1\\ i+1\end{array}\right\}$，这 $i$ 个集合剩下的 $n-k$ 个数均是可放可不放的，同时其余不含这 $k$ 个数的子集都是可取可不取的，所以 $g(k,i)=\left\{\begin{array}{c}k+1\\ i+1\end{array}\right\}{2}^{(n-k)i}{2}^{2^{n-k}}$，$O(n^2)$ 做即可。