题解 [ARC096F] Sweet Alchemy

预处理出子树的大小重量和，变为一个多重背包问题，$1$ 号点可以取无限次，剩余点最多可取 $D$ 次。设 $u$ 子树大小为 $S_u$，子树重量为 $W_u$，则物品 $i$ 体积为 $W_i$，价值为 $S_i$，发现 $S_i$ 非常小，考虑怎么利用。

一个经典的错误贪心是按照 $\frac{S_i}{W_i}$ 从大到小排序，依次取。考虑这个贪心什么时候是正确的。若 $i<j$，且选了至少 $S_i$ 个物品 $j$，且物品 $i$ 还有至少 $S_j$ 个可选，这必定是不优的，因为可以去掉这 $S_i$ 个物品 $j$，换为 $S_j$ 个物品 $i$，保证价值相同时，代价更小。

因为 $S_i\le n\le 50$，于是可以让每个物品保留 $min(n,D)$ 个做多重背包，二进制分组，最后对于每个体积贪心取即可。注意将体积与价值反过来，否则状态数太大。这样总价值就是 $O(n^3)$ 的了。

时间复杂度 $O(n^4\log n)$。

这个题的启示是在体积或价值有一维较小，一维较大时，可以通过贪心将另一维减小。