题解 CF566C Logistical Questions

这题非常好，对函数凸性的运用非常巧妙。

发现对于同一个 $u$，$dis(u,x{)}^{\frac{3}{2}}\times w_u$ 是下凸的。所以 $\sum _{u}dis(u,x{)}^{\frac{3}{2}}\times w_u$ 也是下凸的，记为 $f(x)$。那么对于链上的一点，仅有一个方向会使其变小。由此结论，对于树上的一点，也仅有一个方向会使其变小。考虑点分治，现在的问题是如何快速判断哪个方向是优的。

当前分治到 $x$，向 $y$ 移动。考虑一个点从 $x$ 移动到 $y$，距离 $x$ 为 $\lambda$，权值为$$\sum _{u\in \text{subtree}(y)}{w}_u(dis(x,u)-\lambda {)}^{\frac{3}{2}}+\sum _{u\notin \text{subtree}(y)}{w}_u(dis(x,u)+\lambda {)}^{\frac{3}{2}}$$

求导得$${\displaystyle \frac{3}{2}}(\sum _{u\notin \text{subtree}(y)}{w}_u\sqrt{dis(x,u)+\lambda }-\sum _{u\in \text{subtree}(y)}{w}_u\sqrt{dis(x,u)-\lambda })$$

当 $\lambda \to 0$ 时，找出导数大于 $0$ 的 $y$ 即可，这个预处理一下就好。时间复杂度 $O(n\log n)$。