题解 [ARC093E] Bichrome Spanning Tree

萌萌题。

先将边按边权排序，求出最小生成树。

先考虑最小生成树权值为 $X$ 的情况，严格来说是不更换最小生成树的边的情况，即保证最小生成树的边不全是同色即可，方案数为 $(2^{n-1}-2)\times 2^{m-n+1}$。

接下来考虑更换最小生成树的边的情况，考虑什么时候最小生成树取不到，是不是最小生成树的所有边都染了同个颜色？因为可以染黑色或白色，答案要乘 $2$。不妨设其染成白色。

然后考虑有两种颜色的最小生成树，发现一个性质，即黑色边最多仅有一条，因为每次黑色边 $(u,v)$ 的加入，要减去原最小生成树上的 $u\to v$ 路径上最大边权，再加上 $w(u,v)$，因为 $(u,v)$ 本身不在最小生成树上，所以加入它肯定不优，于是只需一条黑边即可。

所以这个问题只需要对于每条不在树上的边，求一下加入它的最小生成树并判一下是否等于 $X$ 即可。

按每条边加入后的最小生成树权值排序，对于排序后的非树边 $(u_i,v_i)$，若加入它后的最小生成树权值为 $X$，其可以成为答案，但需保证前 $i-1$ 条边不能被染黑，否则异色最小生成树就不会是包含 $(u_i,v_i)$ 的，所以方案数为 $2\times 2^{m-n+1-i}$。

时间复杂度 $O(n\log n)$。