题解 P5398 [Ynoi2018] GOSICK

前置知识：莫队二次离线。

假设值域与 $n$ 同阶。

莫队二次离线后，问题转化为一段前缀中有多少个数是 $x$ 的因数和倍数。$O(n)$ 次加点，$O(n\sqrt{m})$ 次查询。

考虑加入 $x$，当 $x$ 作为询问中的倍数时，只需暴力把 $x$ 的因数位置修改即可。因为 $[1,5\times {10}^5]$ 中一个数的因数最多只有 $200$ 个，复杂度有保证。

当 $x$ 作为询问中的因数时，考虑根号分治。

• 若 $x>B$，暴力修改 $x$ 的倍数，$O(\frac{n^2}{B})$。

• 若 $x<B$，考虑对每个 $x$ 处理，对原问题考虑，二次离线后，问题是有多少 $i\in [l,r],j\in [L,R]$ 满足 $a_i|a_j$，所以只用求 $[l,r]$ 中 $x$ 的个数和 $[L,R]$ 中 $x$ 的倍数个数即可，前缀和计算，$O(nB)$。

取 $B=\sqrt{n}$，总时间复杂度 $O(n\sqrt{n}+n\sqrt{m})$，空间复杂度 $O(n)$。