题解 CF1239E Turtle

这个是结论题。

显然第 $a_{1,1}$ 和 $a_{2,n}$ 放最小的两个值最好，因为它们必经。

第一个结论，若不交换两行间的元素，即每个元素已被确定在哪一行，则 $a_{1,i}\le a_{1,i+1},a_{2,i}\ge a_{2,i+1}$，理由是对于 $i<j,a_{1,i}>a_{1,j}$，交换 $i,j$ 一定是更优的。

第二个结论，答案的折点只会在第 $1$ 列或第 $n$ 列。

反证法，若答案折点在第 $i$ 列，其中 $i\in (1,n)$，则它一定比第 $i-1$ 和 $i+1$ 列优，可得 $a_{1,i}>a_{2,i-1},a_{2,i}>a_{1,i+1}$。由结论一得 $a_{2,i}\ge a_{2,i+1}$，所以 $a_{1,i}>a_{2,i-1}\ge a_{2,i}>a_{1,i+1}$，又 $a_{1,i}\le a_{1,i+1}$，矛盾，命题得证。

于是将剩下 $2n-2$ 个数分成两组，使元素和较大那组的和尽量小。这是经典的背包问题，$vi{s}_{i,j,k}$ 表示考虑到第 $i$ 个数，第一行被填了 $j$ 个，第一行的和为 $k$ 的情况是否存在。转移方程为 $vi{s}_{i,j,k}=vi{s}_{i-1,j,k}\mathrm{or}vi{s}_{i-1,j-1,k-a_i}$。

这样的时空复杂度是 $O(n^{3}k)$ 的，注意转移过程可以用 bitset 优化，时空复杂度优化为 $O(\frac{n^{3}k}{w})$。