题解 CF1368G Shifting Dominoes

因为空格只有两个，记录空格的状态远比记录骨牌的状态方便。考虑将骨牌的移动转为空格的移动。如 LR* 变为 *LR。

可以根据四周的骨牌让空格进行转移，建出一个有向图，$(x,y)$ 连向 $(x\pm 2,y)$ 和 $(x,y\pm 2)$，前提是连边的方向和这两个位置之间骨牌的方向相同。

发现这张图入度最多为 $1$，因为一个位置最多被一张骨牌覆盖。且不存在环，若存在环，则空格路径形成的图形内部格子数必定为奇数，这个可以用毕克定理证明。

所以这张图是外向树森林，对于每一张骨牌考虑删去其后的贡献。

一个很好的性质是，将棋盘黑白染色，一张骨牌恰好覆盖一个黑格子和一个白格子。而每棵树内格子都是同色的（因为每次转移 $x+y$ 奇偶性不变），所以两个空格到达的位置互不相交。

考虑求出每个位置的 DFS 序，不妨设该骨牌黑色格子编号为 $x$，白色格子编号为 $y$，因为是外向树森林，$x$ 可达的所有位置即 $[df{n}_x,df{n}_x+si{z}_x-1]$，$y$ 可达的所有位置即 $[df{n}_y,df{n}_y+si{z}_y-1]$，这个矩形内的所有点即两个空格的所有可达状态。也即删去该骨牌可到达的所有局面。

于是我们要求的就是所有的骨牌对应的矩形并，扫描线即可。

当然这个题有环也可以做，变为外向基环树森林，特殊处理环上的点即可。