题解 CF1764G3 Doremy's Perfect DS Class (Hard Version)

考虑询问能给出什么信息。

当 $k=n$ 时，可以二分 $n$ 位置用 ${\log }_{2}n$ 次询问确定 $n$ 的位置。但暂时看不出这对如何求 $1$ 的位置有什么用处。

当 $k=2$ 时，发现 $1$ 是唯一 $\lfloor \frac{p_i}{2}\rfloor =0$ 的数，其余的数总是有 $\lfloor \frac{2i}{2}\rfloor$ 和 $\lfloor \frac{2i+1}{2}\rfloor$ 成对出现，当 $n$ 为偶数时除外，此时 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 也是单独的，但可以通过 $k=n$ 来求出 $n$ 的位置。

称 $\lfloor \frac{p_i}{2}\rfloor =\lfloor \frac{p_j}{2}\rfloor$ 的 $(i,j)$ 互为匹配，区间中 $\lfloor \frac{p_i}{2}\rfloor$ 只出现了一次的 $i$ 为独立数。

先考虑 $n$ 为奇数的情况，可以通过询问计算出 $[l,r]$ 中的独立数个数，具体地，设询问结果为 $x$，独立数个数为 $y$，有 $y+\frac{(r-l+1-y)}{2}=x$，可得 $y=2x-(r-l+1)$。

显然 $[1,x]$ 和 $[x+1,n]$ 中，除去 $1$ 的独立数个数是相同的，故独立数多的那一个区间里一定有 $1$，可以依靠这个进行二分。总共需要 $2{\log }_{2}n=20$ 次询问。

$n$ 为偶数时，即 $n$ 也可能是多出的独立数，只需要在左右区间独立数个数相等时，靠 $k=n$ 的询问求出独立数是在左边还是右边，再去另一边递归即可。于是我们在 $2{\log }_{2}n+1=21$ 次询问内解决了问题。仍无法通过。

考虑再优化掉一个询问，确定 $n$ 的那次询问显然是必要的，尝试优化二分的最后一个询问 $[l,l+1]$，令 $q(l,r)=query(l,r,2)$，此时已知 $q(1,l-1),q(1,l+1),q(l,n),q(l+2,n)$，可以利用这些信息。

若 $n$ 位置仍不确定，说明两数中有一数是 $n$。直接用 $1$ 次询问令 $k=n$ 来找 $n$ 即可。

否则剩下两个数，一个是 $1$，一个是值在 $2\sim n-1$ 的独立数，称为 $x$，$x$ 肯定会在 $[1,l-1]$ 或 $[l+2,n]$ 中找到自己的匹配。

• 若 $q(1,l+1)=q(1,l-1)+1$，说明对于 $[1,l-1]$，加上 $p_l,p_{l+1}$ 后只增加了 $1$ 这个独立数，说明 $x$ 的匹配在 $[1,l-1]$ 中，再查询 $q(1,l)$，与 $q(1,l-1)$ 比对即可找到 $1$ 的位置。

• 否则 $q(1,l+1)=q(1,l-1)+2$，$[1,l-1]$ 加上 $p_l,p_{l+1}$ 后增加了 $1$ 和 $x$ 两个独立数，说明 $x$ 的匹配在 $[l+1,n]$ 中，查询 $q(l,n)$，与 $q(l+1,n)$ 比对即可找到 $1$ 的位置。

于是我们在 $2{\log }_{2}n+1-1=20$ 次询问内解决了问题。