CITRUS

CF1025G Company Acquisitions

作为鞅和停时定理练手题，但是我还没搞懂理论内容，会用就行。

对一个状态 $S$，定义其势能为 $\mathrm{\Phi }(S)$。定义势能函数 $f(a_i)$，$a_i$ 表示第 $i$ 个点后面跟随了几个点。令 $\mathrm{\Phi }(S)=\sum _{i=1}^{k}f(a_i)$。

这类题目的套路是构造函数使 $E(\mathrm{\Phi }(S_{t+1})-\mathrm{\Phi }(S_t)|S_1,S_2,\cdots ,S_t)=-1$，设停时为 $T$，答案为 $E(\mathrm{\Phi }(S_0))-E(\mathrm{\Phi }(S_T))$。

所以有

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{k}f(a_i)-1& =\sum _{i=1}^k[\frac{k-1}{k}\cdot \frac{k-2}{k-1}f(a_i)+{\displaystyle \frac{k-1}{k}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{k-1}}f(a_i+1)+\frac{1}{k}(a_i-1)f(0)]\\ & =\frac{1}{k}\sum _{i=1}^k[(k-2)f(a_i)+f(a_i+1)]+\frac{n-k}{k}f(0)\\ \sum _{i=1}^{k}kf(a_i)-k& =\sum _{i=1}^k[(k-2)f(a_i)+f(a_i+1)]+\frac{n-k}{k}f(0)\end{array}$$

右边把 $-k$ 提进和式，化简得$$\sum _{i=1}^k[2f(a_i)-1]=\sum _{i=1}^{k}f(a_i+1)+\frac{n-k}{k}f(0)$$

因为 $k$ 是可变的，难以处理。我们尝试把右边那项去掉，因为 $f(0)$ 无法递推得，可令 $f(0)=0$。然后我们加强限制，直接令 $i$ 处两边的值相等，即 $2f(x)-1=f(x+1)$。这个是简单递推式，容易求得 $f(x)=-2^x+1$。所以 $E(T)=E(\mathrm{\Phi }(S_0))-E(\mathrm{\Phi }(S_T))=\sum (-2^{a_i}+1)-(-2^{n-1}-1)$。