题解 CF1479E School Clubs

当作鞅和停时定理的练手题（虽然我还不清楚它们到底是什么）。

定义势能函数 $f(i)$，一个状态 $S$ 的势能 $\mathrm{\Phi }(S)=\sum f(a_i)$。令 $f(0)=0$。

我们希望 $E(\mathrm{\Phi }(S_t))-1=E(\mathrm{\Phi }(S_{t+1}))$，设停时为 $T$，答案为 $E(\mathrm{\Phi }(S_T))-\mathrm{\Phi }(S_0)$，所以有

$$\begin{array}{rl}\sum f(a_i)-1& =\sum f(a_i^{\prime })\\ & =\frac{1}{2}[f(1)+\sum ({\displaystyle \frac{n-a_i}{n}}f(a_i)+\frac{a_i}{n}f(a_i-1))]\\ & +\frac{1}{2}\sum [{\left(\frac{n-a_i}{n}\right)}^{2}f(a_i)+{\left(\frac{a_i}{n}\right)}^{2}f(a_i)+\frac{n-a_i}{n}\cdot \frac{a_i}{n}[f(a_i+1)+f(a_i-1)]]\end{array}$$

令 $f(1)=-2$，加强限制使 $i$ 处值对应相等。

$$f(x)=\frac{1}{2}\cdot [\frac{n-x}{n}f(x)+\frac{x}{n}f(x-1)+{\left(\frac{n-x}{n}\right)}^{2}f(x)+{\left(\frac{x}{n}\right)}^{2}f(x)+\frac{n-x}{n}\cdot \frac{x}{n}[f(x+1)+f(x-1)]]$$

化简得 $f(x+1)={\displaystyle \frac{(3n-2x)f(x)-(2n-x)f(x-1)}{n-x}}$。

分子分母分开递推即可。

至此可 $O(n)$ 求得答案。