impluse

P9060 [Ynoi2002] Goedel Machine

分别对每个质因数计算贡献。

大于 $\sqrt{w}$ 的质因数最多只有一个，考虑根号分治。

对于 $p\le \sqrt{w}$，考虑每个询问，求出 $[l,r]$ 中 $p$ 的倍数个数为 $k$，于是 $p|gcdS$ 的 $S$ 有 $2^k-1$ 个，对答案的贡献为 $p^{2^k-1}$，再考虑 $p^2,p^3,\cdots$，因为考虑 $p^x$ 时 $p^1\sim p^{x-1}$ 都已计算过贡献，只需乘上这次的 $p^{2^k-1}$。预处理 $k\in [0,n],p^{2^k}$ 和 $p^{-1}$ 即可快速计算贡献。由质数分布的离散性得时间复杂度 $O((n+m)\frac{\sqrt{w}}{\log w}\log n)=O(n\sqrt{w}+m\sqrt{w})$，离线即可做到空间复杂度 $O(n+m+w)$。

对于 $p>\sqrt{w}$，所有 $p$ 的倍数个数不超过 $n$，同上处理 $k\in [0,cn{t}_p],p^{2^k}$ 以及它们的逆元，直接上莫队即可。时间复杂度 $O(n\sqrt{m})$。

综上，时间复杂度 $O(n\sqrt{w}+m\sqrt{w}+n\sqrt{m})$，空间复杂度 $O(n+m+w)$。