Kruskal 重构树

感谢 Alex_Wei 的博客，让我受益匪浅。

回忆 Kruskal 算法的过程，按边权从小到大排序，若当前边 $u, v$ 在当前图上还不连通，则加入该边，并查集维护这个过程。

Kruskal 重构树就是在加入 $(u, v)$ 时，建立虚点 $x$ ，令点权 $w_{x} = w (u, v)$ ，建边 $x \to i d_{u}$ 和 $x \to i d_{v}$ ，并将 $i d_{u}, i d_{v}$ 设为 $x$ 。这样得到一棵 $2 n - 1$ 个点的二叉树，初始的节点都是树上的叶子，且满足大根堆的性质。

一个应用是求出 $u$ 只经过边权 $\leq x$ 的边最多可以到达多少个节点。因为 $w_{f a_{u}} \geq w_{u}$ ，可在重构树上倍增，找到 $u$ 深度最浅的祖先 $f$ 满足 $w_{f} \leq x$ ，答案为 $f$ 的子树内的叶子个数。

当问题变为点权的限制后，也可以用重构树解决。一种解决方法是将 $w (u, v)$ 设为 $max (w_{u}, w_{v})$ ，然后用边权的方法做。

存在另一种不需要建虚点的建树方法。按点权从小到大排序，设当前考虑到点 $i$ ，遍历每条边 $(i, u)$ ，若 $u$ 已被考虑过即 $w_{u} \leq w_{i}$ ，且 $i, u$ 不连通，则建边 $i \to i d_{u}$ 。这样构造显然也满足大根堆的性质，但是它是一棵多叉树。

例题

CF1797F Li Hua and Path

求出满足一类限制，满足二类限制，满足一类和二类限制的答案 $A, B, C$ ，答案即为 $A + B - 2 C$ 。

考虑加入父亲为 $x$ 的点 $i$ 对 $A, B, C$ 的影响。 $B$ 增量显然是 $i - 1$ ， $A$ 和 $C$ 的增量相同，设 $c_{i}$ 表示有多少条路径 $u \to i$ 满足 $u$ 是路径上的最小值， $A$ 增量就是 $c_{i}$ 。考虑 $c_{i}$ 如何转移，因为若路径 $u \to x$ 满足 $u$ 是路径最小值，则 $u \to i$ 一定也满足，再加上路径 $x \to i$ ，即 $c_{i} = c_{x} + 1$ 。综上，每次增量为 $i - 1 - c_{i}$ 。

于是只需处理初始的 $A, B, C$ 和 $c_{i}$ 即可。建出小根堆和大根堆的点权多叉重构树 $T_{min}$ 和 $T_{max}$ 。点 $i$ 对 $A, B$ 的贡献是 $i$ 分别在 $T_{min}$ 和 $T_{max}$ 的 $s i z_{i} - 1$ ，因为子树内的点都是可以满足 $\leq i$ 或 $\geq i$ 的限制到达的。 $c_{i}$ 就是 $i$ 在 $T_{min}$ 上的深度。 $C$ 也就是统计有多少 $x, y$ 满足 $x$ 在 $T_{min}$ 上是 $y$ 的祖先， $y$ 在 $T_{max}$ 上是 $x$ 的祖先，这个树状数组随便计算就好了。复杂度 $O (n \log n)$ 。