P9142 [THUPC 2023 初赛] 欺诈游戏

纳什均衡板题。

无论对方放或猜什么数，期望收益均相等。

对于走私者，若对面猜 $i$，期望收益为 ${\displaystyle \frac{i}{2}}\sum _{j=0}^{i-1}{p}_j+\sum _{j=i+1}^{n}j\cdot p_j$。把 $i$ 和 $i-1$ 代入可得 $i\cdot p_i={\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{j=0}^{i-2}{p}_j+{\displaystyle \frac{i}{2}}{p}_{i-1}$，即 $p_i={\displaystyle \frac{1}{2i}}\sum _{j=0}^{i-2}{p}_j+{\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_{i-1}$。

对于检察官，若对面放 $i$，期望收益为 $i\sum _{j=0}^{i-1}{p}_j+\sum _{j=i+1}^n{\displaystyle \frac{j}{2}}\cdot p_j$。把 $i$ 和 $i-1$ 代入可得 ${\displaystyle \frac{1}{2}}i\cdot p_i=\sum _{j=0}^{i-2}{p}_j+i\cdot p_{i-1}$，即 $p_i={\displaystyle \frac{2}{i}}\sum _{j=0}^{i-2}{p}_j+2p_{i-1}$。

用 $p_0$ 表示出 $p_i$，再用 $\sum p_i=1$ 求出 $p_0$ 即可。$O(n)$。