欧拉定理学习笔记

前言

本文主要参考了 OI-wiki。

如无特殊说明，默认 $p$ 为质数。

如有错误或不足，敬请指出。

前置知识

欧拉函数

欧拉函数，记为 $\phi$，$\phi (n)$ 表示所有小于 $n$ 且与 $n$ 互质的数的个数，即 $\phi (n)=\sum _{i=1}^n[gcd(i,n)=1]$。

欧拉函数是积性函数，所以若 $gcd(a,b)=1$，有 $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$。

Lemma：$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$

证明：简单容斥，$[1,p^k]$ 中与 $p^k$ 互质的仅有 $p^{k-1}$ 个 $p$ 的倍数，减去即可。

Lemma：由唯一分解定理，设 $n=\prod _{i=1}^s{p}_i^{k_i}$，有$$\phi (n)=n\prod _{i=1}^s(1-{\displaystyle \frac{1}{p_i}})$$

证明：$$\begin{array}{rl}\phi (n)& =\prod _{i=1}^s\phi (p_i^{k_i})\\ & =\prod _{i=1}^s{p}_i^{k_i}-p_i^{k_i-1}\\ & =\prod _{i=1}^s{p}_i^{k_i}(1-p_i^{-1})\\ & =\prod _{i=1}^s{p}_i^{k_i}(1-\frac{1}{p_i})\\ & =\prod _{i=1}^s{p}_i^{k_i}\prod _{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i})\\ & =n\prod _{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i})\end{array}$$

该引理与后面的证明无关，只是方便求欧拉函数罢了。

缩系

缩系，即简化剩余系，模 $m$ 的缩系即为 $m$ 的完全剩余系中与 $m$ 互质的数构成的子集。

设 $r_1,r_2,\cdots ,r_{\phi (m)}$ 为模 $m$ 的缩系，$a\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{+}}$ 且 $gcd(a,m)=1$。

Lemma：$a{r}_1,a{r}_2,\cdots ,a{r}_{\phi (m)}$ 在模 $m$ 意义下互不相同。

证明：$\mathrm{\forall }i,j\in [1,\phi (m)],i\ne j$

$$a{r}_i-a{r}_j\equiv a(r_i-r_j)(\mathrm{mod}m)$$$$\because r_i\not\equiv r_j(\mathrm{mod}m)$$$$\therefore a(r_i-r_j)\not\equiv 0(\mathrm{mod}m)$$$$\therefore a{r}_i-a{r}_j\not\equiv 0(\mathrm{mod}m)$$$$\therefore a{r}_i\not\equiv a{r}_j(\mathrm{mod}m)$$

Lemma：$\mathrm{\forall }i\in [1,\phi (m)],gcd(a{r}_{i}modm,m)=1$

证明：若 $gcd(a{r}_{i}modm,m)\ne 1$，设 $a{r}_i=km+t$，其中 $t<m$，因为 $gcd(a{r}_{i}modm,m)\ne 1$，即 $gcd(t,m)\ne 1$，所以 $gcd(km+t,m)\ne 1$，又显然 $gcd(a{r}_i,m)=1$，假设不成立，故命题正确。

Lemma：$a{r}_1,a{r}_2,\cdots ,a{r}_{\phi (m)}$ 为模 $m$ 的缩系。

证明：由上述引理得 $a{r}_1,a{r}_2,\cdots ,a{r}_{\phi (m)}$ 均与 $m$ 互质，仅有 $\phi (m)$ 种取值，又因 $a{r}_1,a{r}_2,\cdots ,a{r}_{\phi (m)}$ 互不相同，故 $a{r}_1,a{r}_2,\cdots ,a{r}_{\phi (m)}$ 为模 $m$ 的缩系。

欧拉定理

内容

欧拉定理：若 $gcd(a,m)=1$，有 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$。

证明

设 $r_1,r_2,\cdots ,r_{\phi (m)}$ 为模 $m$ 意义下的缩系。由引理 $1.5$ 得 $a{r}_1,a{r}_2,\cdots ,a{r}_{\phi (m)}$ 也为模 $m$ 的缩系，所以 $\prod _{i=1}^{\phi (m)}a{r}_i\equiv \prod _{i=1}^{\phi (m)}{r}_i(\mathrm{mod}m)$，化简后得 $a^{\phi (m)}\prod _{i=1}^{\phi (m)}{r}_i\equiv \prod _{i=1}^{\phi (m)}{r}_i(\mathrm{mod}m)$，即 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$。

此处提一下费马小定理。

费马小定理：若 $p\nmid a$，有 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

实质上是欧拉定理的特殊情况，证明也类似，构造模 $p$ 的完全剩余系即可。

扩展欧拉定理

内容

扩展欧拉定理：$$a^b\equiv \{\begin{array}{ll}{a}^{b\mathrm{mod}\phi (m)}& gcd(a,m)=1\\ a^{bmod\phi (m)+\phi (m)}& gcd(a,m)\ne 1,b\ge \phi (m)\\ a^b& gcd(a,m)\ne 1,b<\phi (m)\end{array}(\mathrm{mod}m)$$

证明

对于 $gcd(a,m)=1$ 的情况，由欧拉定理可证。

讨论 $gcd(a,m)\ne 1,b\ge \phi (m)$ 的情况。

令 $m=p^{k}s$，其中 $p|m,gcd(p,s)=1$。

由欧拉定理得 $(p^{\phi (p^k)}{)}^{\phi (s)}\equiv 1(\mathrm{mod}s)$，又 $\phi (m)=\phi (p^{k}s)=\phi (p^k)\phi (s)$，可得 $p^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}s)$。

设 $p^{\phi (m)}=rs+1$，则 $p^{\phi (m)+k}=p^{\phi (m)}{p}^k=(rs+1)\cdot p^k=rm+p^k$，即 $p^{\phi (m)+k}\equiv p^k(\mathrm{mod}m)$。

这个结论 $\mathrm{\forall }b\ge \phi (m)$，有 $p^b\equiv p^{b-\phi (m)}(\mathrm{mod}m)$，故 $p^b\equiv p^{bmod\phi (m)+\phi (m)}(\mathrm{mod}m)$。

将 $a$ 每一个质因子乘起来，可得 $a^b\equiv a^{bmod\phi (m)+\phi (m)}$。

需要注意，当 $b<\phi (m)$ 时，该结论不一定成立。