随笔分类 - 题解
摘要：纳什均衡板题。 无论对方放或猜什么数，期望收益均相等。 对于走私者，若对面猜 $i$，期望收益为 $\dfrac i 2\sum\limits_{j=0}^{i-1}p_j +\sum\limits_{j=i+1}^nj\cdot p_j$。把 $i$ 和 $i-1$ 代入可得 $i\cdot p_
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摘要：因为空格只有两个，记录空格的状态远比记录骨牌的状态方便。考虑将骨牌的移动转为空格的移动。如 LR* 变为 *LR。 可以根据四周的骨牌让空格进行转移，建出一个有向图，$(x,y)$ 连向 $(x\pm 2,y)$ 和 $(x,y\pm 2)$，前提是连边的方向和这两个位置之间骨牌的方向相同。 发现这
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摘要：考虑询问能给出什么信息。 当 $k=n$ 时，可以二分 $n$ 位置用 $\log_2 n$ 次询问确定 $n$ 的位置。但暂时看不出这对如何求 $1$ 的位置有什么用处。 当 $k=2$ 时，发现 $1$ 是唯一 $\left\lfloor\frac{p_i}{2}\right\rfloor=0$
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摘要：这个是结论题。 显然第 $a_{1,1}$ 和 $a_{2,n}$ 放最小的两个值最好，因为它们必经。 第一个结论，若不交换两行间的元素，即每个元素已被确定在哪一行，则 $a_{1,i}\le a_{1,i+1},a_{2,i}\ge a_{2,i+1}$，理由是对于 $i<j,a_{1,i}>a_
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摘要：前置知识：莫队二次离线。 假设值域与 $n$ 同阶。 莫队二次离线后，问题转化为一段前缀中有多少个数是 $x$ 的因数和倍数。$O(n)$ 次加点，$O(n\sqrt m)$ 次查询。 考虑加入 $x$，当 $x$ 作为询问中的倍数时，只需暴力把 $x$ 的因数位置修改即可。因为 $[1,5\tim
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摘要：若 $p_1=1$，发现会与 $1$ 玩的是 $\forall k\in[1,n],\min\limits_{i=2^{k-1}+1}^{2^k}p_i$，只要保证这 $k$ 个区间最小值均不在 $A$ 中即可。 钦定 $p_1=1$，答案乘 $2^n$ 即可。 考虑容斥，$f(S)$ 表示 $S$
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摘要：萌萌题。 先将边按边权排序，求出最小生成树。 先考虑最小生成树权值为 $X$ 的情况，严格来说是不更换最小生成树的边的情况，即保证最小生成树的边不全是同色即可，方案数为 $(2^{n-1}-2)\times 2^{m-n+1}$。 接下来考虑更换最小生成树的边的情况，考虑什么时候最小生成树取不到，是
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摘要：这题非常好，对函数凸性的运用非常巧妙。 发现对于同一个 $u$，$dis(u,x)^{\frac{3}{2}}\times w_u$ 是下凸的。所以 $\sum\limits_{u}dis(u,x)^{\frac{3}{2}}\times w_u$ 也是下凸的，记为 $f(x)$。那么对于链上的一点
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摘要：预处理出子树的大小重量和，变为一个多重背包问题，$1$ 号点可以取无限次，剩余点最多可取 $D$ 次。设 $u$ 子树大小为 $S_u$，子树重量为 $W_u$，则物品 $i$ 体积为 $W_i$，价值为 $S_i$，发现 $S_i$ 非常小，考虑怎么利用。 一个经典的错误贪心是按照 $\frac{
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摘要：考虑容斥，令 $f(k)$ 表示至少有 $k$ 个物品在少于两个子集中出现的方案数，这是组合容斥，$ans=\sum\limits_{k=0}^n (-1)^kf(k)$。 考虑如何求 $f(k)$，首先要钦定选的 $k$ 个物品，即 $\dbinom{n}{k}$。发现无论如何这都与所选的集合数量
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摘要：这个题适合练习 SAM。 本质不同的子串有两种想法。一种是哈希，这里哈希很难判断括号串是否合法。还有一种是后缀数据结构，所以可以先用 SAM 将本质不同的子串搞出来。对于 SAM 上一个节点，就是一个以 $r$ 为结尾，$l$ 在一个区间内的所有子串。现在只用判断这些串是否都合法即可。 这不是难点。
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摘要：这题很简单。 首先把每个环找出来，因为是仙人掌，所以每个环最多删一条边。问题变为从每个环中找出至多一条边，使剩下的边权异或和最小，即所有边权与选出的边权异或和最小，同时求其方案数。 显然可以用多项式计数，令 $f_{k,i}$ 表示第 $k$ 个环边权为 $i$ 的边数，并使 $f_{0,sum}=
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摘要：提供本题一种切入点。 除了源汇点其它点是不重要的，把每个源点能到达的汇点预处理出来，变成一张二分图，设 $k$ 为源汇点个数，$k\le 20$。 这个数据范围猜测可能跟 hall 定理有关系，我猜它这个二分图有完美匹配时就是 YES，但是好像 $n=1$ 都不对。 还是往 hall 定理想。若存在
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摘要：这个题我觉得还挺有趣的。 推式子发现走不通，如果分开考虑，我甚至对于每个数最后计算都很困难。只能考虑组合数间的递推关系。因为 $\binom{n}{m}=\binom{n}{m-1}+\binom{n-1}{m-1}$，这个题的 $n$ 又是连续递增的，考虑差分试试。 发现每次加的就是 $\bino
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摘要：增加很简单，删除很困难，考虑回滚莫队。于是可撤销并查集按秩合并即可。 注意细节，右端点增加时不要添加左端点所在块的边，让左端点添加时再考虑，不然是错的，会添加左块中不在区间内的点。 时间复杂度 $O(nk\sqrt q\log n)$。
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摘要：令 $n=RS$。 合并操作可以启发式合并，好像做完了？ 仔细一想发现不太对，因为每次找相邻的连通块是 $O(siz)$ 的，这样对于 $siz$ 特别大时复杂度会退化，所以复杂度瓶颈是在找颜色相同的相邻连通块。 考虑根号分治，设阈值为 $B$。 对于 $siz<B$ 的连通块直接暴力把每个点相邻连
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摘要：毒瘤卡常题。 考虑分块。先想查询。 对于块的内部，每个块预处理 $dis_{i,j,k}$，表示第 $i$ 个块内，$j$ 到 $k$ 的最短距离。这里得把 $j,k$ 在块内离散化，因为块长 $O(\sqrt{n})$，最多出现 $O(\sqrt n)$ 个值，空间是 $O(n\sqrt n)$
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摘要：首先想这个排列怎么用，发现可以将 $a_i$ 改为 $a_i$ 在 $b$ 中的下标，查询变成区间最长子序列，满足连续递增。 有很显然的 dp $f_i=f_{lst_{a_i-1}}+1$，$lst_{a_i}$ 表示 $a_i$ 最后出现位置。 考虑莫队，右端点加入是简单的，删除是困难的，考虑不
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摘要：首先肯定优先考虑 $a_i$ 大的。 证明显然，考虑交换两个数对答案产生的影响即可。 然后题意变为给序列分段，每段的贡献是该段的和乘上该段右端点下标，最小化贡献。 这个瞎 dp 就好了，$dp_{i,k}$ 表示 $\left[1,i\right]$ 分 $k$ 段的答案，转移方程 $dp_{i,k
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摘要：$\texttt{link}$ 题意 给定一个 $n\times m$ 的 $01$ 矩阵，每次操作可以对一行或一列取反，问若干次操作后 $1$ 的个数的最小值。 数据范围：$1\le n\le20,1\le m\le2\times10^5$ 题解 之前听 yls 讲过个不太类似的题，但也是根据本质
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