二项式反演

两年前学的东西，今天补一下笔记。

Intro

考虑 $n$ 个有标号的元素。

令 $f_n$ 表示恰好 $n$ 个元素满足条件（这里的条件取决于具体问题）的方案数，$g_n$ 表示指定 $n$ 个元素满足条件的方案数。那么显然有

$$g_n = \sum_{i=n}^m C_i^n f_i$$

比如说，对于 $f_i$，可以选出 $n$ 个作为指定元素，所以对 $g_n$ 的贡献为 $C_i^n f_i$。

根据二项式反演，

$$f_n = \sum_{i=n}^m (-1)^{i-n} C_i^n g_i$$

二项式反演还有一种形式是

$$g_{n}=\sum_{i=0}^{n}C_n^i f_{i} \quad \Longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}C_n^i g_{i}$$

这里的 $g_n$ 表示从 $n$ 个元素中指定 $i$ 个元素满足条件的总方案数。

从组合意义上看第一种更常用。

Application

一般来说题目要求的东西和 $f$ 有关（比如问恰好有多少个元素满足条件，至少多少个元素满足条件等等）。

通常 $f$ 并不容易直接求出，那么我们就可以先将 $g$ 求出来，再通过二项式反演得到 $f$。

Example

Description

考虑一个有 $n$ 个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。然后需要你求出 $n$ 个元素的所有排列中有多少个是错排。

Solution

这里我们可以将条件指定为元素在自己的位置上，可以发现 $g_i = C_n^i \times (n-i)!$（因为指定 $i$ 个元素在自己位置上后其他元素可以任意决策位置）。最后使用二项式反演求出 $f_0$ 就是答案了。

Link

可以在这里尝试应用一下（题目同 Description）

https://www.luogu.com.cn/problem/P1595

AC Code:

https://www.luogu.com.cn/record/185696122