wqs 二分学习笔记

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• wqs 二分笔记
  • 讲解
    • 模板题题目描述
    • 分析
    • 实现

不得不说这东西理解容易但是写代码的时候一堆边界问题，谔谔

讲解

先放例题：https://www.luogu.com.cn/problem/P5633

模板题题目描述

给你一个有 $n$ 个节点，$m$ 条边的带权无向图，你需要求得一个生成树，使边权总和最小，且满足编号为 $s$ 的节点正好连了 $k$ 条边。

分析

我们以（生成树中）与编号 $s$ 相连的边数（$s$ 的度数）为 $x$ 轴，生成树的最小边权和为 $y$ 轴作出函数曲线。

分析可知，此函数可以在中间若干个点达到最小值，这几个点的横坐标都是所有合法的最小生成树中 $s$ 的度数。

而沿着这最小值点的左方向，函数值会越来越大，而且增速会越来越快。

同理，沿着最小值点的右方向，函数值也越来越大，而且增速会越来越快。

作出图像就是：

其中 $D,E$ 就是上文所说的最小值点。

可以发现，作出的函数曲线是一个下凸壳，这意味着随着横坐标的增大，斜率是递增的。

有了递增的性质，我们就可以利用斜率来进行二分了。

比如说，题目要求的 $s$ 度数为 $6$，对应上图的 $C$ 点，那么通过二分斜率便可以找到一条与 $C$ 点“相切”的直线：

因此，根据函数意义，这个切点 $C$ 的 $y$ 轴坐标就是答案了。

从上面的过程就可以发现 wqs 二分的思想了：

因为直接求 $C$ 的 $y$ 轴坐标是困难的，所以我们从问题所对应的函数的曲线入手，通过找到的相应的切线的 $y$ 轴坐标来得到答案。

最后的问题是，怎么找切线呢？

我们就让和 $s$ 相连的边都减去二分值 $mid$，跑一遍最小生成树即可，最小生成树对应的边权和就是上图切线与 $y$ 轴的截距。而我们要得到切点的 $y$ 轴坐标就只需要让截距加上 $cnt \times mid$ 即可，其中 $cnt$ 就是此最小生成树中 $s$ 的度数。

事实上，上面所说的求切点过程可以看作是将曲线进行了旋转，然后找到最小值。（个人认为这样理解最好懂）

而对于其它的题目，我们就根据题目来求相应的最值即可，方法例如：贪心，DP 等。

实现

上面的讲解涉及的细节较少，不妨参考下面的代码进一步理解。

// Problem: P5633 最小度限制生成树
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P5633
// Memory Limit: 128 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define debug(x) cerr << #x << ": " << (x) << endl
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define dwn(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define pb push_back
#define all(x) (x).begin(), (x).end()

#define x first
#define y second
using pii = pair<int, int>;
using ll = long long;

#define int long long

inline void read(int &x){
    int s=0; x=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-')x=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    x*=s;
}

const int N=1e5+5, M=1e6+50;

struct Edge{
	int u, v, w;
	
	bool operator < (const Edge &o)const{
		return w<o.w;
	}
}e[M], es[M], buf[M];

int tot, tots, totb;

int f[N];

int find(int x){
	return x==f[x]? x: f[x]=find(f[x]);
}

int n, m, s, k;
int res, cnt;

int cal(int x){
	rep(i,1,tots) es[i].w-=x;
	res=0, totb=0;
	rep(i,1,n) f[i]=i;
	
	for(int i=1, j=1; i<=tots || j<=tot; ){
		if(i>tots || j<=tot && e[j].w<=es[i].w) buf[++totb]=e[j++];
		else buf[++totb]=es[i++];
	}
	
	cnt=0;
	rep(i,1,totb){
		int u=buf[i].u, v=buf[i].v, w=buf[i].w;
		int pu=find(u), pv=find(v);
		if(pu!=pv){
			f[pu]=pv;
			if(u==s || v==s) cnt++;
			res+=w;
		}
	}
	rep(i,1,tots) es[i].w+=x;
	return cnt;
}

bool is_cc(){
	int g=0;
	rep(i,1,n){
		if(!g) g=find(i);
		else if(g!=find(i)) return false; 
	}
	return true;
}

signed main(){
	cin>>n>>m>>s>>k;
	rep(i,1,n) f[i]=i;
	rep(i,1,m){
		int u, v, w; read(u), read(v), read(w);
		if(u==s || v==s) es[++tots]={u, v, w};
		else e[++tot]={u, v, w};
		f[find(u)]=find(v);
	}
	if(!is_cc()) return puts("Impossible"), 0;
	
	sort(es+1, es+1+tots), sort(e+1, e+1+tot);
	
	int l=-30010, r=-l;
	if(cal(r)<k) return puts("Impossible"), 0;
	if(cal(l)>k) return puts("Impossible"), 0;
	
	while(l<r){
		int mid=l+r+1>>1;
		if(cal(mid)<=k) l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	cal(l);

	int t=res+l*k;
	cout<<t<<endl;
	
	return 0;
}