Burnside 引理 & Pólya 定理

Burnside 引理 & Pólya 定理

目录

• Burnside 引理 & Pólya 定理
  • 群论相关知识
    • 半群
    • 群
      • 群的性质总结
      • 例子
    • 子群
    • 陪集
      • 陪集定理
    • 置换
      • 置换群
    • Burnside 引理 & Pólya 定理
      • 轨道-稳定子定理
        • 轨道
        • 稳定子
      • Burnside 引理
      • Pólya 定理
  • 例题
    • 解答
    • 代码实现
  • 引用资料

Burnside 引理 & Pólya 定理能够用来解求本质不同的方案数这类问题。

考虑到定理的证明依赖于群论，而萌新可能对群论比较陌生，因此从群论相关知识讲起。

群论知识参考了许多资料（见本文引用资料），把本人认为简洁易于理解的讲解保留了下来，而对于一些理论。证明使用了自己的讲述方法/证法，如果发现不严谨或者笔误指出请指出 orz。

写这份博客的时候电脑曾经停电丢失了数据，写到一半的进度没了，我厄厄。

群论相关知识

半群

• 集合 $S$ 和 $S$ 上满足结合律的二元运算 $\cdot$ 所形成的代数结构叫做半群，记为 $(S, \cdot)$ 或者简记为 $S$，运算 $x \cdot y$ 常记为 $xy$。对于 $x, y\in S$，有 $xy \in S$（即运算 $\cdot$ 在 $S$ 上满足封闭性）

  运算同时满足交换律的半群称为交换半群。

• 若 $\forall x\in S$ 均有 $ex = xe = x$，称 $e$ 为 $x$ 的幺元。

  幺元是唯一的：若 $e'$ 也是幺元，有 $e' = e'e = e$。

  具有幺元的半群称为含幺半群。

• 对于含幺半群 $S$，元素 $y\in S$ 叫做元素 $x \in S$ 的逆元，是指 $xy = yx = 1$。

  逆元是唯一的：若 $y'$ 也是逆元，有 $y' = y' \cdot 1 = y'xy = 1\cdot y = y$。把这个唯一的逆元记作 $x ^ {-1}$。

群

对于每个元素均有逆元的含幺半群 $G$ 称为群。

若运算又满足交换律，称 $G$ 为交换群或阿贝尔（Abel）群。

群 $G$ 的元素数 $|G|$ 称为群的阶。

个人认为，把群看成是具有一定约束并且支持运算 $\cdot$ 的集合会比较容易理解相关内容。

群的性质总结

由上文所述，群满足性质：

• 封闭性
• （运算满足）结合律
• 存在幺元
• 每个元素均有逆元

当然，如果 $G$ 在 $\cdot$ 下满足上述四个性质，那么称 $(G, \cdot)$ 为一个群。

例子

上面给了半群与群的定义，现举个例子：

对于自然数集 $N$，$(N, +)$ 为含幺交换半群，幺元为 $0$，不是的群的原因是 $N$ 中非 $0$ 的数均不存在逆元。

而整数集 $Z$ 对于加法是交换群，因为对于 $x\in Z$，$-x$ 为对应的逆元，事实上，它被称为整数加法群。

子群

若 $H \subseteq G$ 且在 $(H, \cdot)$ 为群，称 $H$ 为 $G$ 的子群，记为 $H \leq G$。

验证子集 $H$ 为 $G$ 的子群只需验证以下三点：

• $1_G \in H$
• $h \in H$，$h^{-1} \in H$
• $a, b \in H \Rightarrow a \cdot b \in H$

陪集

陪集是由任意固定的 $g\in G$ 与 $G$ 子群 $H$ 生成的集合，

其中左陪集为：$gH = \{gh | h\in H\}$

右陪集为：$Hg = \{hg | h\in H\}$

陪集的性质：

• 陪集元素个数等于子群的阶，因为：（以左陪集为例：$gh \ne gh' \Leftrightarrow h \ne h'$）
• 若 $g\in H$，由封闭性易知，陪集为 $H$ 本身。

陪集定理

对于 $H$ 两个左（右）陪集，要么相等，要么交集为 $\varnothing$。

证明：

如果陪集 $gH, g'H$ 存在交集，假设交集的一个元素为 $gh = g'h'$（$h, h'\in H$），

显然有 $gh H = g'h' H$，因为 $hH = h'H = H$，因此 $gH = g'H$

利用陪集定理，我们有分拆：$G = \cup g_iH$，叫做 $G$ 对子群 $H$ 的左陪集分解。

其中左陪集的个数记为 $[G:H]$，称为子群 $H$ 对于 $G$ 的指数。

进而，我们显然有：设 $G$ 为有限群，$H\leq G$，则 $|G| = |H|[G:H]$。（拉格朗日（J.Lagrange） 定理）

置换

集合 $\Sigma$ 到自身每个一一对应 $\sigma$ 叫做 $\Sigma$ 上的一个置换。若 $\Sigma$ 为有限集，此置换可表示为：

$$\sigma = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ \sigma(a_1) & \sigma(a_2) & \dots & \sigma(a_n) \\ \end{pmatrix}$$

$\sigma$ 的逆可以表示为：

$$\sigma ^ {-1} = \begin{pmatrix} \sigma(a_1) & \sigma(a_2) & \dots & \sigma(a_n) \\ a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ \end{pmatrix}$$

两个置换 $\sigma, \tau$ 的乘积定义为 $\Sigma \to \Sigma$ 映射的合成：$(\sigma \tau) (a_i) = \sigma(\tau(a_i))$，其中 $i \in [1, n]$。

例如，

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}$$

轮换（循环置换）是一类特殊的置换，表示为

$$\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_{n-1} & a_n \\ a_2 & a_3 & \dots & a_n & a_1 \\ \end{pmatrix}$$

每个置换均可写成一些轮换的乘积（轮换的次序可随意写），使不同轮换中没有公共元素，长为 $1$ 的置换往往略去不写，如：

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & 2 & 5 & 4 & 6 \\ \end{pmatrix} = (1, 3, 2)(4, 5) = (4, 5)(1, 3, 2)$$

置换群

上面已说明置换的乘积仍为置换，且存在逆元。而对于置换的幺元显然是恒等置换（简单来说就是 $a_i \to a_i$）。

因此我们可以定义一个 $S(\Sigma)$ 表示 $\Sigma$ 上全体置换构成的集合，这是一个 $n!$ 元群，叫做集合 $\Sigma$ 上的对称群。

而它的每个子群都叫集合 $\Sigma$ 上的置换群。

Burnside 引理 & Pólya 定理

给定集合 $X$ 和置换群 $G$。

如果感觉到十分抽象的话，不妨代入下面的情境（意义）对下文的内容进行理解：

$A$ 表示待染色物品集合。

$B$ 表示支持染的颜色的集合。

$X$ 表示染色方案集合。

$G$ 表示支持的变换。

$X/G$ 表示本质不同的染色方案集合。

$X^g$ 表示经过一个变换 $g$ 后保持不变的染色方案对应的集合。

比如说：给你一串共 $n$ 个珠子，支持旋转变换 $G$（可以看作是置换的一种）（这意味着如果两种染色方案在旋转后一样视为本质相同），每个珠子可以被染成 $m$ 种颜色（也就是说方案集 $X$ 的大小为 $m ^ n$），求本质不同的染色方案数（也就是 $|X/G|$）

轨道-稳定子定理

轨道

$\forall x\in X$, 称 $G(x) = \{g(x) | g\in G\}$ 为 $x$ 的轨道。

稳定子

$\forall x\in X$，称 $G ^ x = \{g | g(x) = x, g\in G \}$ 为 $x$ 的稳定子。

$$|G| = |G ^ x||G(x)|$$

先证明 $G^x$ 是 $G$ 的子群：

• 封闭性：对于 $G^x$ 的元素 $g, g'$，有 $(gg')(x) = x$，故 $gg'\in G^x$
• 结合律：由置换乘法易知成立。
• 存在幺元：也就是恒等置换 $I$，显然在 $G^x$ 中。
• 每个元素均有逆元：$g ^ {-1}(g(x)) = I(x) = x$，同时 $g^{-1}(g(x)) = g^{-1}(x)$，故 $g ^ {-1} \in G ^ x$。

由拉格朗日定理，$|G| = |G ^ x| [G: G^x]$

故下面只需证 $[G: G^x] = |G(x)|$，也就是左陪集的个数等于 $x$ 轨道的个数。

证明：

考虑证明存在 $G(x)$ 到 $G^x$ 左陪集的一一映射：

注意到对于每个 $gG^x$，有 $gG^x(x)$ 的元素均相同，这意味着每个左陪集 $gG^x$ 能够对应一个 $G(x)$ 的元素 $g(x)$；而对于不同的左陪集 $gG^x, g'G^x$，因为 $g\ne g'$，因此必然满足相应的 $g'(x) \ne g(x)$。

因此有 $G(x)$ 到 $G^x$ 左陪集的一一映射关系。

Burnside 引理

$$\begin{aligned} \sum_{g\in G}|X^g| &= |\{(g,x) | (g,x)\in G\times X, g(x) = x\}| \\ &= \sum_{x\in X}|G^x| （前两行的意思其实就是从两个角度刻画满足 g(x) = x 的 (x, g) 对数）\\ &= \sum_{x\in X}\frac{|G|}{|G(x)|} （ 轨道-稳定子定理） \end{aligned}$$

下面结合实际意义进行推导：

对于本质相同的一组（染色方案）$x$，它们的轨道数都是 $G(x)$，因此有：

$$\begin{aligned} \sum_{x\in X}\frac{1}{|G(x)|} &= |X/G| \end{aligned}$$

故我们有 Burnside 引理：

$$|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|$$

这意味着，对于实际的计数问题，在给出变换的种类数 $|G|$ 后，我们只需要求出染色方案在各种变换下保持不动的数量的和（即 $\sum_{g\in G}|X^g|$），那么我们就可以求出本质不同的染色方案数了。

Pólya 定理

考虑到 Burnside 引理需要求的 $\sum_{g\in G}|X^g|$ 在实际统计中时间复杂度较高，而很多问题都是求解 $A\to B$ 所有可能的映射（也就是比较特殊的 $X$）所对应的染色方案（共 $|B| ^ {|A|}$ 种）中本质不同的数量。

那么，在这样的问题中，可以使用 Pólya 定理：

$$|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|B|^{c(g)}$$

$c(g)$ 表示置换 $g$ 能拆分出的循环置换数。

证明：

注意到对于置换 $g$，对于其拆分出的每个循环置换中的颜色必须相同，根据乘法原理，可知共有 $|B | ^ {c(g)}$ 种

这意味着满足在 $g$ 作用下保持不变的方案 $x$ 数量 $|X^g|$ 等于 $|B| ^ {c(g)}$。

也就是 $|B| ^ {c(g)} = |X ^ g|$，证毕。

例题

https://www.luogu.com.cn/problem/P4980

解答

考虑使用 Pólya 定理：

只需统计对于每个置换 $g$ 的 $c(g)$ 值即可。

而对于本题，置换的形式就是 $k \in [0, n-1]$ 的循环移位，例如 $n=4, k=2$：

$$g = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$$

那么上例的 $c(g)$ 值就是 $2$。

现在的问题就是：给定 $n, k$，求相应的 $c(g)$ 值。

其实就是求给定大小为 $n$ 的环，能拆分成多少个步长为 $k$ 的环，比如上面的例子就是能拆成两个环：$(1, 3), (2, 4)$。

所以考虑求每个环的大小 $size$（容易发现每个环大小相等），那么 $c(g) = \frac{n}{size}$。

而 $size$ 是满足 $n | tk$ 的最小的 $t$，所以 $size = \frac{n}{\gcd(n, k)}$。

现在，由上述推理以及 Pólya 定理，题目所求的答案 $Ans$ 就是：

$$Ans = \frac{1}{|n|}\sum_{k=0}^{n-1} |n|^{\gcd(n, k)}$$

当然因为直接枚举的复杂度为 $O(TN)$，会超时。

考虑根据 $\gcd$ 的值对上述和式进行分块，可以从枚举 $n$ 的因子 $d$ 入手：

$$Ans = \frac{1}{|n|}\sum_{d|n} |n|^{d} \varphi(\frac{n}{d})$$

复杂度为 $O(T \cdot \sqrt N \cdot logN)$，可以通过。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int mod=1e9+7;

int fpow(int x, int p){
	int res=1;
	for(; p; p>>=1, x=x*x%mod) if(p&1) res=res*x%mod;
	return res;
}

int gcd(int a, int b){
	return b? gcd(b, a%b): a;
}

int inv(int x){
	return fpow(x, mod-2);
}

int phi(int x){
    int res=x;
    for(int i=2;i<=x/i;i++)
        if(x%i==0){
            res=res/i*(i-1);
            while(x%i==0) x/=i;
        }
    if(x>1) res=res/x*(x-1);

    return res;
}

signed main(){
	int T; cin>>T;
	while(T--){
		int n; cin>>n;
		int res=0;
		for(int i=1; i<=n/i; i++){
			if(n%i==0){
				res=(res+fpow(n, i)*phi(n/i)%mod)%mod;
				if(n/i!=i) res=(res+fpow(n, n/i)*phi(i)%mod)%mod;
			}
		}
		cout<<res*inv(n)%mod<<endl;
	}	
	return 0;
}

引用资料

https://cp-algorithms.com/combinatorics/burnside.html

https://zhuanlan.zhihu.com/p/294221308

https://oiwiki.com/math/permutation-group/

冯克勤,李尚志,章璞.近世代数引论[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2018