【数论】欧拉定理与扩展欧拉定理证明

欧拉定理与扩展欧拉定理证明

之前一直想填这个坑来着。。

欧拉定理证明

欧拉定理：若 $(a, m) = 1$​，$a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m$​.

证明

引理：设 $r_1,\dots,r_{\phi(m)}$​ 为模 $m$​ 的缩系，那么 $ar_1,\dots,a_{\phi(m)}$ 也是模 $m$​ 的缩系。

证明：

首先，$\forall k \in [1, \phi(m)]$，$ar_k \equiv 1 \pmod m$​

下只需证明 $\forall i,j\in[1, \phi(m)], i\ne j$，有 $ar_i \not \equiv ar_j \pmod m$​​：

因为 $ar_i-ar_j = a(r_i-r_j)$

而我们有 $(m \nmid a)$​ 且 $m\nmid(r_i-r_j)$​，得证。​

因此 $\prod r_i \equiv \prod ar_i \pmod m$，而 $(r_i, m) = 1$，故 $a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m$。

扩展欧拉定理证明

扩展欧拉定理：若 $b\geq \phi(m)$，那么 $a^b \equiv a^{b\% \phi(m) + \phi(m)} \pmod m$。

证明

由唯一分解定理，$a = \prod p_i^{\alpha_i}$​​​，我们只需要证明对于 $a$​​​ 的任意一个质因数 $p$​​​，都有：若 $b\geq \phi(m)$​​​，那么 $p^b \equiv p^{b\% \phi(m) + \phi(m)} \pmod m$​​​​。

而对于质数的幂次方可以用下面的方法类似证明，因此下面考虑证明：对于任意质数 $p$​​，上述结论成立。

记 $m = sp^k$，其中 $(s, p) = 1$。

由欧拉定理，$p^{\phi(s)}\equiv 1 \pmod s$。

因为欧拉函数为积性函数，故 $\phi(s) \mid \phi(m)$，进而有 $p^{\phi(m)}\equiv 1 \pmod s$。

上式两边同乘 $p^k$​​，有 $p^{\phi(m) + k}\equiv p^k \pmod m$​​。

进而 $p^{\phi(m) + k}\equiv p^k \equiv p^{k\%\phi(m) + \phi(m)} \pmod m$。

因此，对于 $b\geq \phi(m)$​，$p^b\equiv p^{b \% phi(m) + b}$​。