【数论】欧拉定理与扩展欧拉定理证明

欧拉定理与扩展欧拉定理证明

之前一直想填这个坑来着。。

欧拉定理证明

欧拉定理：若 \((a, m) = 1\)​，\(a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m\)​.

证明

引理：设 \(r_1,\dots,r_{\phi(m)}\)​ 为模 \(m\)​ 的缩系，那么 \(ar_1,\dots,a_{\phi(m)}\) 也是模 \(m\)​ 的缩系。

证明：

首先，\(\forall k \in [1, \phi(m)]\)，\(ar_k \equiv 1 \pmod m\)​

下只需证明 \(\forall i,j\in[1, \phi(m)], i\ne j\)，有 \(ar_i \not \equiv ar_j \pmod m\)​​：

因为 \(ar_i-ar_j = a(r_i-r_j)\)

而我们有 $(m \nmid a) $​ 且 $ m\nmid(r_i-r_j)$​，得证。​

因此 \(\prod r_i \equiv \prod ar_i \pmod m\)，而 \((r_i, m) = 1\)，故 \(a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m\)。

扩展欧拉定理证明

扩展欧拉定理：若 \(b\geq \phi(m)\)，那么 \(a^b \equiv a^{b\% \phi(m) + \phi(m)} \pmod m\)。

证明

由唯一分解定理，\(a = \prod p_i^{\alpha_i}\)​​​，我们只需要证明对于 \(a\)​​​ 的任意一个质因数 \(p\)​​​，都有：若 \(b\geq \phi(m)\)​​​，那么 \(p^b \equiv p^{b\% \phi(m) + \phi(m)} \pmod m\)​​​​。

而对于质数的幂次方可以用下面的方法类似证明，因此下面考虑证明：对于任意质数 \(p\)​​，上述结论成立。

记 \(m = sp^k\)，其中 \((s, p) = 1\)。

由欧拉定理，\(p^{\phi(s)}\equiv 1 \pmod s\)。

因为欧拉函数为积性函数，故 \(\phi(s) \mid \phi(m)\)，进而有 \(p^{\phi(m)}\equiv 1 \pmod s\)。

上式两边同乘 \(p^k\)​​，有 \(p^{\phi(m) + k}\equiv p^k \pmod m\)​​。

进而 \(p^{\phi(m) + k}\equiv p^k \equiv p^{k\%\phi(m) + \phi(m)} \pmod m\)。

因此，对于 \(b\geq \phi(m)\)​，\(p^b\equiv p^{b \% phi(m) + b}\)​。