【数学 线性基】AcWing 209. 装备购买

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分析

采取这样的贪心策略：将物品看作是矩阵中的行，按照花费升序排序，然后从 \(1-n\)​​ 扫描，当第 \(i\)​​ 个行和前面加入的所有行线性无关的时候，就将其花费计入答案，反之不计入。

这样做为什么是对的呢？采用归纳法来证明：

下证：前 \(n\)​​ 行采取上述策略能够在保证选出的行构成的线性空间与前 \(n\)​ 行构成的线性空间相等的前提下花费最小。

• 前 \(1\) 行，我们肯定需要将第一行加入贡献，满足。
• 假设前 \(k\) 行满足上述贪心策略。
• 下只需证明前 \(k+1\) 行采取上述贪心策略是最优的。
  • 如果前 \(k\) 行构成的线性空间和前 \(k+1\) 行构成的线性空间相等（也就是第 \(k+1\)​​ 行能被前 \(k\)​ 行选出的行线性表出），那么我们肯定不选取，满足最优。
  • 如果不相等，也就是第 \(k+1\)​ 行与前 \(k\)​ 行线性无关。假设我们不选取第 \(k+1\)​ 行，那么无论如何从前 \(k\)​ 行进行选取也不能使得选出的行构成的线性空间与前 \(k+1\)​​​ 行构成的线性空间相等，因此必须选。

实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define debug(x) cerr << #x << ": " << (x) << endl
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define dwn(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define pb push_back
#define all(x) (x).begin(), (x).end()

using ll = long long;

inline void read(int &x){
    int s=0; x=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-')x=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    x*=s;
}

const int N=550;
const double eps=1e-5;

int n, m;
int w[N][N], c[N];
int idx[N];

bool zero(double x){
	return abs(x)<eps;
}

bool zero(vector<double> a){
	for(auto i: a) if(!zero(i)) return false;
	return true;
}

void change(vector<double> &a, vector<double> &b){
	rep(i,0,m-1){
		if(zero(a[i]) && !zero(b[i])) return;
		if(!zero(a[i]) && zero(b[i])){
			swap(a, b);
			return;
		}
		if(!zero(a[i]) && !zero(b[i])){
			double rate=a[i]/b[i];
			rep(j,i,m-1) a[j]-=rate*b[j];
			return;
		}
	}
}

int main(){
	cin>>n>>m;
	rep(i,1,n) rep(j,1,m) read(w[i][j]);
	rep(i,1,n) read(c[i]);
	rep(i,1,n) idx[i]=i;
	sort(idx+1, idx+1+n, [](int x, int y){
		return c[x]<c[y];
	});
	
	vector<vector<double>> a;
	ll res=0;
	rep(i,1,n){
		int p=idx[i];
		vector<double> row;
		rep(j,1,m) row.pb(w[p][j]);
		
		for(auto &vec: a) change(row, vec);
		if(!zero(row)) a.pb(row), res+=c[p];
	}
	
	cout<<a.size()<<' '<<res<<endl;
	
	return 0;