【概率论】条件概率

条件概率

乘法定律

$P(AB) = P(A|B)P(B)$

全概率定律

令 $B_1,\dots B_n$ 满足 $\cup_{i=1}^nB_i=\Omega,B_i\cap B_j=\emptyset(i\neq j)$，且 $\forall i,P(B_i)>0$，则有 $\forall A, P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)$。

贝叶斯公式

有事件 $A,B_1,\dots, B_n$，其中 $\cup_{i=1}^nB_i=\Omega,B_i\cap B_j=\emptyset(i\neq j)$ 且 $\forall i,P(B_i)>0$，则有

$$P(B_j|A) = \frac{P(A|B_j)P(B_j)}{\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)}$$

推导很简单，就是用全概率公式将右式分母换成 $P(A)$ 即可证明。