【数学】快速傅里叶变换（FFT）
快速傅里叶变换（FFT）
FFT 是之前学的，现在过了比较久的时间，终于打算在回顾的时候系统地整理一篇笔记，有写错的部分请指出来啊 qwq。
卷积
卷积、旋积或褶积（英语：Convolution）是通过两个函数 \(f\) 和 \(g\) 生成第三个函数的一种数学算子。
定义
设 \(f,g\) 在 \(R1\) 上可积，那么 \(h(x) = \int_{-∞}^∞f(\tau)g(x-\tau)d\tau\) 称为 \(f\) 与 \(g\) 的卷积。
对于整系数多项式域，\(n-1\) 次多项式 \(A,B\) 的相乘可以得到 \(h(x) = A(x)B(x) = \sum_{i=0}^{2n-2} \sum_{j+k=i}a_j b_k = \sum_{i=0}^{2n-2} \sum_{j=0}^i a_j b_{i-j} x^i\)，对应的卷积为 \(C_i = \sum A_j B_{i-j}\)。
系数表示法
即用多项式各项系数来刻画这个多项式，例如 \(n-1\) 次多项式就可以写成这样：\(A(x) = a_0 + a_1x+...+a_{n-1}x^{n-1}\)
点值表示法
我们知道，\(n\) 个不同的点可以确定一个 \(n-1\) 次的多项式，所以我们可以使用 \(n\) 个（不同）点来刻画一个 \(n-1\) 次多项式。
这样做会有什么方便呢？
例如 \(f(x) = (x_0, f(x_0)),...(x_n,f(x_n)),g(x) = (x_0, g(x_0)),...(x_n, g(x_n))\)，那么它们的卷积 \(h(x) = (x_0, f(x_0)g(x_0)),...(x_n, f(x_n)g(x_n))\)。
这意味着在系数表示法中需要 \(O(n^2)\) 次的乘法运算在点值表示法中只需要 \(O(n)\) 次。
系数表示法转点值表示法（DFT）
下面考虑如何将 \(n-1\) 次多项式从系数表示法转为点值表示法。
因为用普通的方法选取 \(n\) 个点然后将系数表示法转为点值表示法的复杂度为 \(O(n^2)\)（因为需要选 \(n\) 个点，然后对于每个点 \(x\) 需要计算共 \(n\) 项的结果），我们考虑如何优化这一步。
注意到满足 \(w^n=1\) 的单位根 \(w\) 有 \(n\) 个，故从这里入手。
我们记方程 \(w^n = 1\) 的第 \(k\) 个单位根为 \(w_n^k\)。
方便起见，设 \(n\) 为 \(2\) 的幂（就算不是也可以看作是高次项的系数为 \(0\)）。
将 \(A(x)\) 按照次数的奇偶性分别分成两组 \(F(x),G(x)\)，并表示为 \(A(x) = F(x^2) + xG(x^2)\)
例如 \(A(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\)，那么 \(F(x) = a_0+a_2x,G(x)=a_1+a_3x\)。
将 \(x=w_n^k\) 代入 \(A(x)\)，由复数的性质，
\(A(w_n^k) = F(w_{\frac{n}{2}}^k) + w_n^k G(w_{\frac{n}{2}}^k)\) ，类似地 \(A(w_{n}^{k+\frac{n}{2}}) = F(w_{\frac{n}{2}}^k) - w_n^k G(w_{\frac{n}{2}}^k)\)。
推导：
\(A(w_{n}^{k+\frac{n}{2}}) = F(w_n^{2k+n}) + w_n^{k+\frac{n}{2}}G(w_n^{2k+n}) \\= F(w_{\frac{n}{2}}^k) + w_n^{k+\frac{n}{2}} G(w_{\frac{n}{2}}^k) \\= F(w_{\frac{n}{2}}^k) - w_n^k G(w_{\frac{n}{2}}^k)\)
可以发现对于两个相应的单位根 \(w_n^k,w_n^{\frac{n}{2}+k}\)，可以用对应的 \(F,G\) 算出（可以递归地实现这个过程），而且计算的范围折半，所以一共需要计算 \(O(logN)\) 层，每一层执行 \(O(n)\) 次运算，所以复杂度为 \(O(NlogN)\)。
点值表示法转系数表示法（IDFT）
下面考虑如何将 \(n-1\) 次多项式从点值表示法转为系数表示法。
因为对于每个点值 \(y_i = \sum_{k=0}^{n-1}w_n^{ki}\)，其中 \(i\in[0, n-1]\)，我们可以写出等式：
现在我们已经有向量 \(y\) 了（就是右式），因此，如果要得到向量 \(a\)，只需要两边乘上 \(w\) 矩阵的逆即可。
这里的 \(w\) 矩阵正是著名的范德蒙矩阵，它的逆正好是每一项都取倒数，然后除以 \(n\)。
因此有 \(a_i = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}w_n^{-ki}\)，其中 \(i\in[0, n-1]\)。
有没有发现 \(a_i,y_i\) 的形式非常接近？据此，我们可以在实现的时候在同一个函数中写出逆变换和正变换，然后在得到的结果 res 中除以 \(n\) 就可以了。（参照下面的代码）
至此，FFT 的基本原理讲述完毕，下面是优化。
位逆序置换
按照上文的讲述，如果不看下面的代码，那么编写出来的是递归版本，但是这个版本的常数太大了，因此运行起来的效果不好，故使用位逆序置换来降低常数。
我们看看递归过程是什么样的，以 \(n=8\) 为例：
这里就有一个非常神奇的规律：在最后一行中，原下标所对应的二进制数翻转正好是在最后一行的序数。例如 \(x_6\) 的下标是 \(6 = 110_{(2)}\)，那么它的序数正好是 \(011_{(2)} = 3\)。
据此，可以处理出 rev 数组，它记录的正是最后一行所有元素对应的下标。
简单地说，递归形式是自上而下地做 FFT，而利用位逆序置换我们可以自下而上地做 FFT，它们在实际运行中有着常数上的区别。
模板题及代码
https://www.luogu.com.cn/problem/P3803
给定一个 \(n\) 次多项式 \(F(x)\)，和一个 \(m\) 次多项式 \(G(x)\)。
请求出 \(F(x)\) 和 \(G(x)\) 的卷积。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+5;
const double pi=acos(-1);
int n, m;
// 复数类
struct Complex{
double x, y;
Complex operator + (const Complex &o)const { return {x+o.x, y+o.y}; }
Complex operator - (const Complex &o)const { return {x-o.x, y-o.y}; }
Complex operator * (const Complex &o)const { return {x*o.x-y*o.y, x*o.y+y*o.x}; }
};
Complex a[N], b[N];
int res[N];
int rev[N], bit, tot;
void fft(Complex a[], int inv){ // inv 指示正变换、逆变换。
for(int i=0; i<tot; i++) if(i<rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
for(int mid=1; mid<tot; mid<<=1){
auto w1=Complex({cos(pi/mid), inv*sin(pi/mid)});
for(int i=0; i<tot; i+=mid*2){
auto wk=Complex({1, 0});
for(int j=0; j<mid; j++, wk=wk*w1){
auto x=a[i+j], y=wk*a[i+j+mid];
a[i+j]=x+y, a[i+j+mid]=x-y;
}
}
}
}
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=0; i<=n; i++) cin>>a[i].x;
for(int i=0; i<=m; i++) cin>>b[i].x;
while((1<<bit)<n+m+1) bit++; // 结果次数分布在 [0, n+m] 内，一共有 n+m+1 位。
tot=1<<bit; // 得到上文所说的 n
for(int i=0; i<tot; i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
fft(a, 1), fft(b, 1); // 正变换 DFT
for(int i=0; i<tot; i++) a[i]=a[i]*b[i];
fft(a, -1); // 逆变换 IDFT
for(int i=0; i<=n+m; i++) res[i]=(int)(a[i].x/tot+0.5), printf("%d ", res[i]);
return 0;
}
