【图论】2-SAT 问题

目录

简介
做法
代码

简介

k-SAT（全称Satisfiability）问题，具体来说，给定 \(n\) 个具有真假的命题，给一些逻辑关系（例如 \(p_1 \vee p_2\)），如果逻辑关系式子包含 \(k\) 个元，要求出 \(n\) 个命题的真假值满足所有逻辑关系。当 \(k>3\) 时，已经被证明为 \(NPC\) 问题，但是 \(k=2\) 时可以使用线性复杂度的算法解决，所以我们在这重点讨论 2-SAT 问题。

做法

注意到这样一个事实：\(a\vee b \Leftrightarrow \neg a \rightarrow b\) ，同理，\(a\vee b \Leftrightarrow \neg b \rightarrow a\) 。（详细可以参考数理逻辑）

\(\rightarrow\) 被称为蕴含

如果将 \(n\) 个命题看成 \(2n\) 个点，然后利用上面的事实建边的话，就可以转化为图论问题求解了。

具体来说，例如，有命题 \(p_1,p_2\) ，逻辑关系为 \(p_1\vee p_2\) ，我们将 \(p_1\) 拆成两个状态（图论中相应的两个点） \(x_1, \neg x_1\) ，分别表示 \(p_1\) 取真、取假，\(p_2\) 用相同方式处理，那么逻辑关系可以转化为图论中的两条有向边：\((\neg x_1, x_2),~(\neg x_2, x_1)\) 。

用这样的方式，就可以将所给的命题以及逻辑关系转化为一个有向图了。

对这个有向图，我们采用 \(SCC缩点\) ，如果一个命题的两个状态 \(x_i,~\neg x_i\) 同时出现在同一个强连通分量中，问题无解（因为不可能有 \(x_i\) 直接或间接地蕴含 \(\neg x_i\)）

否则，\(x_i,~\neg x_i\) 所在的强连通分量编号一定存在严格的偏序关系（通俗地说就是一定是一大一小），我们取编号小的那个状态作为命题 \(p_i\) 的取值即可。

下面简单说明这样取即可保证正确：
假如 \(\neg a \rightarrow b\)，由逆否命题性质，一定有 \(\neg b \rightarrow a\) ，如果说 \(\neg a\) 和 \(b\) 在同一强连通分量中，那么 \(\neg b\) 和 \(a\) 一定在另一强连通分量中，不妨设 \(a\) 所在的强连通分量编号较小，我们选取了 \(a\) 。由强连通分量性质，\(a\) 与 \(\neg b\) 可以相互到达，所以 \(\neg b\) 一定要被选取，而事实上由构造方式知 \(\neg b\) 一定是被选取的，因此这样做能够保证正确性。

模板题：（一样的）
https://www.acwing.com/problem/content/2404/
https://www.luogu.com.cn/problem/P4782

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline void read(int &x) {
    int s=0;x=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')x=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    x*=s;
}

const int N=2e6+5, M=2e6+5;
int n, m;

struct node{
	int to, next;	
}e[M];

int h[N], tot;

void add(int u, int v){
	e[tot].to=v, e[tot].next=h[u], h[u]=tot++;
}

int ts, dfn[N], low[N];
int stk[N], top;
int id[N], cnt;
bool ins[N];

void tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++ts;
	stk[++top]=u, ins[u]=true;
	for(int i=h[u]; ~i; i=e[i].next){
		int go=e[i].to;
		if(!dfn[go]){
			tarjan(go);
			low[u]=min(low[u], low[go]);
		}else if(ins[go]) low[u]=min(low[u], dfn[go]);
	}
	
	if(dfn[u]==low[u]){
		int y;
		cnt++;
		do{
			y=stk[top--], ins[y]=false, id[y]=cnt; 
		}while(y!=u);
	}
}

int res[N];

int main(){
	memset(h, -1, sizeof h);
	read(n), read(m);
	
	while(m--){
		int i, a, j, b; read(i), read(a), read(j), read(b);
		i--, j--;
		add(2*i+!a, 2*j+b), add(2*j+!b, 2*i+a);
	}
	
	for(int i=0; i<2*n; i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
	
	for(int i=0; i<n; i++) if(id[2*i]==id[2*i+1]){
		puts("IMPOSSIBLE");
		return 0;
	}else res[i]= id[2*i]>id[2*i+1];
	
	puts("POSSIBLE");
	for(int i=0; i<n; i++) printf("%d ", res[i]);
	cout<<endl;
	
	return 0;
}