【网络流】费用流（基于Capacity Scaling）

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简介
原理
代码
引用资料

简介

费用流问题就是要求在所有最大流之中，找到费用最大/最小的问题。
下面重点讨论最小费用最大流。

原理

先给出大概的做法：
在残留网络上沿着最短路（边权即费用）增广，直到得到最大流（无法再增广），那么，假如图中没有负圈，这样的最大流的费用是最小的。

下面证明正确性：
假如存在具有相同流量比 $f$ 费用更小的流 $f'$ ，考察 $f'-f$ ，可知它由若干个圈组成，因为 $f'-f$ 的费用为负，故在这些圈中至少存在一个负圈。

也就是说，$f$ 是最小费用流 $\Leftrightarrow$ 残留网络中不存在负圈

基于上面的结论，可以利用归纳法证明上述做法的正确性。

1. 对于流量为 $0$ 的流 $f_0$ ，残留网络即为原图，故只要不存在负圈，那么 $f_0$ 就是最小费用流。
2. 下证：若流量为 $i$ 的流 $f_i$ 为最小费用流，则其通过 $s$ 到 $t$ 的最短路增广得到的 $f_{i+1}$ 是流量为 $i+1$ 的最小费用流。
   假设存在 $f_{i+1}'$ 满足 $f_{i+1}' < f_{i+1}$ ，而 $f_{i+1}-f_i$ 对应的路径又是 $s\rightarrow t$ 的最短路，所以 $f_{i+1}'-f_i$ 对应的路径一定存在负圈，与 $f_i$ 为最小费用流矛盾。

那么，如果图中存在负圈，如何解决呢？

此时我们需要对问题进行转化，从 $t\rightarrow s$ 连一条容量为 $∞$ ，费用为 $-∞$ 的虚边得到无源汇流。注意到如果存在增广路，则一定可以通过这条路径以及虚边使得费用更小，反之，如果不存在增广路，则在原图相应地得到了最小费用最大流。

下面只需求无源汇流的最小费用。

我们采取 capacity scaling 解决这个问题：

它利用了流本身的性质，实现减少增广的次数的目的。

这个性质是：将原图中每条边的容量乘二后，最小费用流每条边的流量分别乘二。
因此，在求出 $\lfloor \frac{c(u,v)}{2^k} \rfloor$ 为边容量的最小费用流 $f$ 后，将 $f$ 对应的边容量乘二，然后对每条二进制中相应位为 $1$ 的边进行容量加一即可得到 $\lfloor \frac{c(u,v)}{2^{k-1}} \rfloor$ ，最后我们即可得到相应边 $(u,v)$ 容量为 $c(u,v)$ 对应的最小费用流。

复杂度：如果采用 SPFA ，那么最坏复杂度是 $O(NM^2logU)$ 。（$U$ 为边的最大容量）

使用 Dijkstra 的复杂度可能会优秀一点，但是编写难度较大，可以看看下面引用资料 1，介绍较为详细。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0,y=1;char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') y=-1;c=getchar();}
	while (c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*y;
}

const int N=205, M=10005<<1, INF=0x3f3f3f3f;

int n, m, S, T;
struct node{
	int to, c, rc, w, next; // c 表示容量（进行 capacity scaling ），rc 表示原图容量，w 表示费用。
}e[M];

int h[N], tot;

void add(int u, int v, int rc, int w){
	e[tot].to=v, e[tot].rc=rc, e[tot].w=w, e[tot].next=h[u], h[u]=tot++;
	e[tot].to=u, e[tot].rc=0, e[tot].w=-w, e[tot].next=h[v], h[v]=tot++;
}

int d[N], pre[N];
bool vis[N];
int q[N];

void spfa(int s){
	memset(vis, false, sizeof vis);
	memset(d, 0x3f, sizeof d);
	memset(pre, -1, sizeof pre);
	int tt=0, hh=0;
	d[s]=0, vis[s]=true, q[tt++]=s;
	
	while(tt!=hh){
		int hd=q[hh++]; if(hh==N) hh=0; 
		vis[hd]=false;
		
		for(int i=h[hd]; ~i; i=e[i].next){
			int go=e[i].to;
			if(e[i].c && d[go]>d[hd]+e[i].w){
				d[go]=d[hd]+e[i].w;
				pre[go]=i;
				if(!vis[go]){
					vis[go]=true;
					q[tt++]=go; if(tt==N) tt=0;
				}
			}
		}
	}
}

void add_one_cap(int id){
	// 优化，有流量的话，不可能关于这条边还存在负圈，直接更新后 return。
	if(e[id].c){
		e[id].c++;
		return;
	}
	int u=e[id^1].to, v=e[id].to; // from and to
	spfa(v);
	if(d[u]<INF && d[u]+e[id].w<0){
		e[id^1].c++;
		int x=u;
		while(x!=v){
			int t=pre[x];
			e[t].c--, e[t^1].c++;
			x=e[t^1].to;
		}
	}else e[id].c++;
}

int main(){
	memset(h, -1, sizeof h);
	n=read(), m=read(), S=read(), T=read();
	
	while(m--){
		int u, v, rc, w; u=read(), v=read(), rc=read(), w=read();
		add(u, v, rc, w);
	}
	
	add(T, S, INF, -INF);
	
	for(int i=10; i>=0; i--){
		for(int j=0; j<tot; j++) e[j].c<<=1;
		for(int j=0; j<tot; j+=2) if(e[j].rc>>i&1) add_one_cap(j); // 传入边的编号 id，进行 +1 容量操作。
	}
	
	int cost=0;
	for(int i=0; i<tot-2; i+=2) cost+=e[i].w*e[i^1].c;
	cout<<e[tot-1].c<<' '<<cost<<endl;
	
	return 0;
}

当然，如果题目中不存在负圈，那么直接使用 SPFA 即可。

```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0,y=1;char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') y=-1;c=getchar();}
	while (c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*y;
}

const int N=205, M=10005<<1, INF=0x3f3f3f3f;

int n, m, S, T;
struct node{
	int to, c, rc, w, next; // c 表示容量（进行 capacity scaling ），rc 表示原图容量，w 表示费用。
}e[M];

int h[N], tot;

void add(int u, int v, int rc, int w){
	e[tot].to=v, e[tot].rc=rc, e[tot].w=w, e[tot].next=h[u], h[u]=tot++;
	e[tot].to=u, e[tot].rc=0, e[tot].w=-w, e[tot].next=h[v], h[v]=tot++;
}

int d[N], pre[N];
bool vis[N];
int q[N];

void spfa(int s){
	memset(vis, false, sizeof vis);
	memset(d, 0x3f, sizeof d);
	memset(pre, -1, sizeof pre);
	int tt=0, hh=0;
	d[s]=0, vis[s]=true, q[tt++]=s;
	
	while(tt!=hh){
		int hd=q[hh++]; if(hh==N) hh=0; 
		vis[hd]=false;
		
		for(int i=h[hd]; ~i; i=e[i].next){
			int go=e[i].to;
			if(e[i].c && d[go]>d[hd]+e[i].w){
				d[go]=d[hd]+e[i].w;
				pre[go]=i;
				if(!vis[go]){
					vis[go]=true;
					q[tt++]=go; if(tt==N) tt=0;
				}
			}
		}
	}
}

void add_one_cap(int id){
	// 优化，有流量的话，不可能关于这条边还存在负圈，直接更新后 return。
	if(e[id].c){
		e[id].c++;
		return;
	}
	int u=e[id^1].to, v=e[id].to; // from and to
	spfa(v);
	if(d[u]<INF && d[u]+e[id].w<0){
		e[id^1].c++;
		int x=u;
		while(x!=v){
			int t=pre[x];
			e[t].c--, e[t^1].c++;
			x=e[t^1].to;
		}
	}else e[id].c++;
}

int main(){
	memset(h, -1, sizeof h);
	n=read(), m=read(), S=read(), T=read();
	
	while(m--){
		int u, v, rc, w; u=read(), v=read(), rc=read(), w=read();
		add(u, v, rc, w);
	}
	
	add(T, S, INF, -INF);
	
	for(int i=32; i>=0; i--){ // 取决于 logU 的大小
		for(int j=0; j<tot; j++) e[j].c<<=1;
		for(int j=0; j<tot; j+=2) if(e[j].rc>>i&1) add_one_cap(j); // 传入边的编号 id，进行 +1 容量操作。
	}
	
	int cost=0;
	for(int i=0; i<tot-2; i+=2) cost+=e[i].w*e[i^1].c;
	cout<<e[tot-1].c<<' '<<cost<<endl;
	
	return 0;
}

引用资料

1. https://ouuan.github.io/post/%E5%9F%BA%E4%BA%8E-capacity-scaling-%E7%9A%84%E5%BC%B1%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B4%B9%E7%94%A8%E6%B5%81%E7%AE%97%E6%B3%95/

2. 《挑战程序设计竞赛》 P222-225