CF gym 102483(NWERC 2018) A题 解答

分析

题目大意：给出 $n$ 个点的坐标 $(x_i, y_i)$ ，其中 $i\in [1,n]$ ，要求构造相应的点 $(p_i,q_i)$ ，$p,q$ 满足 $p_{i-1}\leq p_{i},~q_{i-1}\leq q_{i}$，使得 $\sum ((x_i-p_i)^2+(y_i-q_i)^2)$ 最小。

注意到 $x,y$ 和 $p,q$ 都是分别独立的，因此只需求 $\sum (x_i-p_i)^2$ 最小值即可。

先给出具体做法：对于每个 $x_k$ ，都创建一个有值和 $sum$ （简记为 $s$），$cnt$ （简记为 $c$）两个属性的结点，当当前结点 $cur$ 与先前结点满足： $s_{cur}/c_{cur} < s_{last}/c_{last}$ 时，就将 $cur$ 与 $last$ 进行合并得到更新后的 $cur$ ，如此下去直到最后的 $cur$ 与 $last$ 满足： $s_{cur}/c_{cur} \geq s_{last}/c_{last}$

其中合并方法为： 将 $s_{cur}$ 加上 $s_{last}$ ， $c_{cur}$ 加上 $c_{last}$ ，删去 $last$ 。

下面说明这样做即可得到最优解：

简便起见，分别将 $cur,last$ 结点记为 $e_{i+1},e_i$ ，$\forall i$ ，$e_i$ 有属性 $s_i,c_i$ ，$s_i/c_i$ 记为 $v_i$ 。

设 $e_i$ 对应的区间为 $[L,k]$ ，$e_{i+1}$ 对应的区间为 $[k+1,R]$ 。

先给出引理：对于 $\frac{\sum_{i=1}^n (a_i-x)^2}{n}$ ，当且仅当 $x=\overline a$ 时取到最小值。

证明：展开，可知 $\frac{\sum_{i=1}^n (a_i-x)^2}{n}$ 是关于 $x$ 的二次函数，由展开式可知，其在且只在 $x=\overline a$ 取到最小值。

• 当 $v_{i+1} \geq v_i$ 时，只需证明不合并比合并的花费小即可。

记 $v=(s_i+s_{i+1})/(c_i+c_{i+1})$

由所给的做法，对于相应的 $p值$ 可知在 $[L,k]$ ，$p=v_i$ ，而在 $[k+1,R]$ ，$p=v_{i+1}$ ，这样的 $p$ 值是合法的。

只需证明 $\sum_{j=L}^R (x_j-v)^2 \geq \sum_{u=L}^k(x_u-v_i)^2+\sum_{w=k+1}^R (x_w-v_{i+1})^2$

由引理，

$\sum_{u=L}^k(x_u-v)^2\geq \sum_{u=L}^k(x_u-v_i)^2$

$\sum_{w=k+1}^R (x_w-v)^2 \geq \sum_{w=k+1}^R (x_w-v_{i+1})^2$

将上两式相加即证。

• 当 $v_{i+1} < v_i$ 时，只需证明合并比不合并的花费小即可。

由所给的做法，对于相应的 $p值$ ，记在 $[L,k]$ ，$p=p_f$ ，而在 $[k+1,R]$ ，$p=p_s$ ，应有 $p_s\geq p_f$ 。

只需证明 $\sum_{j=L}^R (x_j-v)^2 \leq \sum_{u=L}^k(x_u-p_f)^2+\sum_{w=k+1}^R (x_w-p_s)^2$

因为 $\sum_{w=k+1}^R (x_w-p_s)^2 \geq \sum_{u=L}^k(x_u-p_f)^2$

故 $\sum_{u=L}^k(x_u-p_f)^2+\sum_{w=k+1}^R (x_w-p_s)^2 \geq \sum_{u=L}^k(x_u-p_f)^2+\sum_{w=k+1}^R (x_w-p_f)^2 = \sum_{j=L}^R (x_j-p_f)^2$

由引理，显然有 $\sum_{j=L}^R (x_j-p_f)^2 \geq \sum_{j=L}^R (x_j-v)^2$

至此证毕。

所以对于所给的做法，每一次操作都是最优的做法，因此整个做法是最优的。

代码：

#pragma GCC optimize("O3")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define debug(x) cerr << #x << ": " << x << endl
#define pb(a) push_back(a)
#define set0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define dwn(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define ceil(a,b) (a+(b-1))/b
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll_INF 0x7f7f7f7f7f7f7f7f
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<double,double> PDD;

inline int read()
{
	int x=0,y=1;char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') y=-1;c=getchar();}
	while (c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*y;
}

const int N=1e5+5;
const double eps=1e-12;
int n;
double x[N], y[N];

double stk_sum[N];
int stk_cnt[N];
int top;

double cal(double a[]){
	set0(stk_sum), set0(stk_cnt);
	top=0;
	
	rep(i, 1, n){
		double cur_sum=a[i]; int cur_cnt=1;
		while(top && cur_sum*stk_cnt[top]+eps<stk_sum[top]*cur_cnt){
			cur_sum+=stk_sum[top];
			cur_cnt+=stk_cnt[top--];
		}
		stk_sum[++top]=cur_sum, stk_cnt[top]=cur_cnt;
	}		
	
	int id=0;
	double res=0;
	rep(i, 1, top) rep(j, 1, stk_cnt[i]){
		id++;
		double avg=stk_sum[i]/stk_cnt[i];
		res+=(avg-a[id])*(avg-a[id]);
	}
	return res;
}

int main(){
	cin>>n;
	rep(i, 1, n) cin>>x[i]>>y[i];
	
	double res=cal(x)+cal(y);
	printf("%.10lf\n", res);	
	
    return 0;
}