【网络流】网络流基本概念
网络流涉及到的概念好多 ,梳理一下。
流网络
流网络是一个有向图,包含点集和边集。即 。
对于边 (也可以记为 ),有属性 ,称为容量。可以将其比喻为水管在单位时间可以流过的最大水量。
而图 中有两个特殊的点,称为源点和汇点,通常记为 , ,可以将源点比喻为无限的水源,将汇点比喻为能够容纳无穷的水的容器。
可行流
我们记 为边 当前的流量,流量需要满足两个约束:
- 容量限制:即
- 流量守恒:除了源点、汇点,其他点流入的流量等于流出的流量,正式地说:
流量值
用单位时间流出源点的流量来刻画,记为 。
最大流
又称为最大可行流,即对于 中可行流构成的集合中,流量值最大的元素。
残留网络
又称为残量网络,注意,残留网络总是针对原图 中的某一个可行流而言的,因此,可以残留网络看成是可行流的一个函数,通常记为 。
,其中 , 。
残留网络中的容量记为 ,定义为:
增广路径
如果从源点 出发沿着残留网络中容量大于 的边走,可以走到汇点 ,那么将走过的边所组成的路径称为增广路径。
原网络可行流+残留网络可行流也是原网络的一个可行流
正式地说, 属于 的一个可行流,且有 。
割
是网络中顶点的一个划分,把所有顶点划分成两个顶点集合 和 ,其中源点 属于 ,汇点 属于 ,而且有 , ,记为 。
割的容量
最小割
中所有割组成的集合中,容量最小的元素。
割的流量
任意割的流量 容量
正式地说,即 , 。
最大流最小割定理
- 是最大流
- 不存在增广路
- ,满足
最大流最小割定理指的是:上面的三个命题是等价的。(也就是说可以互推)。
证明:
-
先证明 1 可以推得 2 :
反证即可,如果 存在增广路,那么原图 中存在流量大于 的可行流 ,那么 也是可行流,且流量为 ,矛盾。 -
下证 2 可以推得 3 :
我们将对于 中从 出发沿着容量大于 的边可以到达的点全部放入集合 中,然后令 。
那么对于点 , ,边 一定有 。
而对于点 , 。必然有 。因而割可以被构造出来。 -
最后证明 3 可以推得 1 :
因为 ,而由 3 可知 ,故上式取等,即有 是最大流。
最大流FF方法
基于这样的思路:
- 寻找增广路
- 利用增广路更新残留网络
一直这样做,直到找不到增广路,那么即可求得最大流。
算法:
单路增广:EK算法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=1e9;
const int N=1005, M=10010;
int n, m, S, T;
struct node{
int to, c, next;
}e[M<<1];
int h[N], tot;
// 残量网络建图,初始时正向的容量是 c, 反向容量是 0 。
void add(int u, int v, int c){
e[tot].to=v, e[tot].c=c, e[tot].next=h[u], h[u]=tot++;
e[tot].to=u, e[tot].c=0, e[tot].next=h[v], h[v]=tot++;
}
int lim[N], pre[N]; // lim[u] 表示 S 到点 u 路径容量的最小值, pre[u] 表示 u 的前驱边。
bool vis[N];
int q[N];
// bfs 找增广路。
bool bfs(){
memset(vis, false, sizeof vis);
int hh=0, tt=-1;
q[++tt]=S, vis[S]=true, lim[S]=INF;
while(tt>=hh){
int hd=q[hh++];
for(int i=h[hd]; ~i; i=e[i].next){
int go=e[i].to;
if(vis[go] || !e[i].c) continue;
vis[go]=true, q[++tt]=go;
lim[go]=min(lim[hd], e[i].c);
pre[go]=i;
if(go==T) return true;
}
}
return false;
}
int EK(){
int res=0;
while(bfs()){
res+=lim[T];
for(int i=T; i!=S; i=e[pre[i]^1].to){
e[pre[i]].c-=lim[T], e[pre[i]^1].c+=lim[T];
}
}
return res;
}
int main(){
memset(h, -1, sizeof h);
cin>>n>>m>>S>>T;
while(m--){
int u, v, c; cin>>u>>v>>c;
add(u, v, c);
}
cout<<EK()<<endl;
return 0;
}
多路增广:dinic算法
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define gc() (st==ed&&(ed=(st=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),st==ed)?EOF:*st++)
char buf[100001],*st=buf,*ed=buf;
void read(int &a){
a=0;char c=gc();
while(c>'9'||c<'0')c=gc();
while(c>='0'&&c<='9')a=a*10+c-48,c=gc();
}
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=10010, M=1e5+5;
struct node{
int to, c, next;
}e[M<<1];
int h[N], tot;
void add(int u, int v, int cap){
e[tot].to=v, e[tot].c=cap, e[tot].next=h[u], h[u]=tot++;
e[tot].to=u, e[tot].c=0, e[tot].next=h[v], h[v]=tot++;
}
int n, m, S, T;
int d[N], q[N], cur[N];
bool bfs(){
memset(d, -1, sizeof d);
int tt=-1, hh=0;
q[++tt]=S, d[S]=0, cur[S]=h[S];
while(tt>=hh){
int hd=q[hh++];
for(int i=h[hd]; ~i; i=e[i].next){
int go=e[i].to;
if(d[go]==-1 && e[i].c){
d[go]=d[hd]+1;
cur[go]=h[go];
if(go==T) return true;
q[++tt]=go;
}
}
}
return false;
}
int find(int u, int limit){
if(u==T) return limit;
int flow=0;
for(int i=cur[u]; ~i && flow<limit; i=e[i].next){
cur[u]=i;
int go=e[i].to;
if(d[go]==d[u]+1 && e[i].c){
int t=find(go, min(e[i].c, limit-flow));
if(!t) d[go]=-1;
e[i].c-=t, e[i^1].c+=t, flow+=t;
}
}
return flow;
}
int dinic(){
int res=0, flow;
while(bfs()) while(flow=find(S, INF)) res+=flow;
return res;
}
int main(){
memset(h, -1, sizeof h);
read(n), read(m), read(S), read(T);
while(m--){
int u, v, cap; read(u), read(v), read(cap);
add(u, v, cap);
}
cout<<dinic()<<endl;
return 0;
}
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