【DP，位运算】Brave Seekers of Unicorns

传送门：https://codeforces.com/gym/102956

题目大意：

统计满足下列条件的数列的方案数:

• 非空
• 严格递增
• 任意连续三个元素的异或和不为 $0$
• 元素小于等于给定的 $n$

分析：

$f[i]$ 表示以 $i$ 为尾的方案数。

考虑状态转移：

• 如果 $f[i]$ 只有一个元素，自然属于一种方案。
• 如果 $i$ 的上一个数是 $j ~ (j \in [1,i-1])$
  • $i \oplus j >= j$ 时，直接转移即可 $f[i]+=f[j]$
  • 否则， $f[i]+=f[j]-f[j \oplus i]$

写出更为一般化的公式就是：
$f[i]=\sum_{u=1}^{i-1} f[u] - \sum_{j=1}^{i-1} f[i \oplus j]$，这里的 $j$ 满足 $(j > i \oplus j)$

我们记 $highbit(x)$ （是我乱起的）为二进制中 $x$ 除了最高位为 $1$ 其余全部清 $0$ 所对应的数，例如：$highbit(11001)=10000$

注意到 $j$ 与 $i$ 必须位数相等（充分必要条件）。
因此，我们可以得到更为精确的 $j$ 的范围 $[highbit(i),i-1]$

记 $k=i\oplus j$ ，我们只需找到一个快速统计 $k$ 的办法就好了。

举两个例子（二进制）：
$i=10100,故~j=10000-10011$ ，对应的 $k$ 为 $100-111$ （不一定是依次对应的）。

$i=101010,故~j=1000000-101001$ ，
对应的 $k$ 为 $1000-1111$，以及 $10-11$ （不一定是依次对应的）。

从中我们发现了规律：
记 $t=i-highbit(i)$ ，然后每一次取 $t$ 的 $highbit$ ，区间 $[highbit(t),highbit(2t-1)]$ 都是满足的，我们依次统计就好了。

证明挺简单的，就留作习题吧。

我自己乱搞了一个求 $highbit(x)$ 的算法：
就是求 $2^{\lfloor log_2x \rfloor}$ 即可。

如果感觉不太好懂可以用下面的打表程序试试：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+6;
int highbit[N];

void init(){
	for(int i=2;i<N;i++){
		highbit[i]=highbit[i/2]+1;	
	}
	for(int i=2;i<N;i++)
		highbit[i]=1LL<<highbit[i];
	highbit[1]=1;
}

void get(int x){
	vector<int> v;
	while(x) v.push_back(x%2), x>>=1;
	reverse(v.begin(),v.end());
	for(auto i:v) cout<<i;
	cout<<' '; 	
}

int main(){
	init();
	int i; cin>>i;
	for(int j=highbit[i];j<=i-1;j++)
		get(j^i), puts("");

	return 0;
}

原题代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+6;
const int mod=998244353;

long long f[N],s[N];
int highbit[N];

void init(){
	for(int i=2;i<N;i++){
		highbit[i]=highbit[i/2]+1;	
	}
	for(int i=2;i<N;i++)
		highbit[i]=1LL<<highbit[i];
	highbit[1]=1;
}

int main(){
	init();
	int n; cin>>n;
	
	cerr<<highbit[N-1];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		auto &v=f[i];
		v=1;
		v=(v+s[i-1])%mod;
		int t=i;
		t-=highbit[t];
		while(t){
			int x=highbit[t];
			v=(v-(s[(x<<1)-1]-s[x-1])+mod)%mod;
			t-=x;
		}
		s[i]=(s[i-1]+v)%mod;	
	}
	cout<<s[n]<<endl;
	
	return 0;
}