【DP，位运算】 Bank Security Unification

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题目大意：给出一个数列 $a$ ，选出一个子序列 $a_k$ ，使得子序列（长度记为 $len$ ） $\sum_{i=1}^{len-1}a_{k_i}\&a_{k_i+1}$ 最大。

分析

我们记 $f[i][j]$ 为处理到第 $i$ 位，长度为j的子序列的最大值。

若第i位不选 $f[i][j]=f[i-1][j]$
否则 $f[i][j]=max(f[pre][j-1])$ 其中 $pre$ 表示 $i$ 之前所有可能的下标。

采取滚动数组的思想，我们可以优化一维，进而得到：
$f[i]=max(f[i-1],f[pre])$

但是直接枚举 $pre$ 需要 $o(N)$ 复杂度，显然超时，我们从位运算的角度考虑优化：

我们记 $highbit(x)$ （是我乱起的）为二进制中 $x$ 除了最高位为 $1$ 其余全部清 $0$ 所对应的数，例如：$highbit(11001)=10000$

那么我们有这样一个结论：对于选出的所求值最大的子序列最后的两个数 $a_i,a_j$ 不存在 $a_t（t \in (i,j))$，使得$highbit(a_i\&a_j)=highbit(a_i\&a_t)$。（反证法易得）

这意味着 $f[i]$ 只可能由 $f[pre[j]]$ 转移而来，这里 $pre[j]$ 表示离 $i$最近的，对应二进制位置 $j$ 为 $1$ 的数所对应的下标。（结合代码理解）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e6+5;
ll f[N], pre[N];
int n;
ll a[N];

int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i]=f[i-1];
		for(int j=0;j<=40;j++){
			if(a[i]>>j&1){
				f[i]=max(f[i],f[pre[j]]+(a[pre[j]]&a[i]));
				pre[j]=i;
			}
		}
	}
	
	cout<<f[n]<<endl;
	
	return 0;
}