解析树状数组

引入

已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

• 将某一个数加上 xx （修改）

• 求出某区间每一个数的和 （查询）

如何解决这个问题呢？

如果直接使用数组来做，那么修改操作复杂度是 $O(1)$ ,查询复杂度是 $O(N)$.
而如果使用前缀和数组来做，那么修改操作复杂度是 $O(N)$ ,查询复杂度是 $O(1)$.

上面两种方法的总复杂度都是 $O(N)$

那么有没有更快的方法呢？有，树状数组便是一种解决方法，它的复杂度是 $O(logN)$ （在后面我们会说明为什么）

原理

树状数组，是基于二进制的数位的特性的数据结构。所谓的特性指的是什么呢？简单地说就是可以逐位拆解出 $1$ ,直到整个串被如此表示。

举个例子：给出一个二进制串 $100101$ ，它可以被分解为 $100000+100+1$ 。

这样便为求前缀和提供了一条道路：按照拆出来的数分块求前缀和。

比如说要求数组前 $12$ 个元素的和，利用 $12_{(10)}=1100_{(2)}=1000_{(2)}+100_{(2)}=8_{(10)}+4_{(10)}$ 。
先求出后 $4$ 个元素的和（即 $9-12$ ），再求出除了这 $4$ 个元素之外后 $8$ 个元素的和（即 $1-8$ ）再把它们加起来即可。

这样我们便解决了求前缀和（查询）操作。

讲到这里，我想引入这张图片帮助理解：（我们记 $x$ 所对应的区间为 c[x]）这张图完美地解释了 $x$ 能够维护 $lowbit(x)$ 个元素 （ $lowbit(x)$ 指 $x$ 在二进制下最后一个 $1$ 以及它后面所有的 $0$ 构成的二进制串所对应的数，比如说 $lowbit(6)=lowbit(110_{(2)})=10_{(2)}=2$ ）

下面来讲讲更新操作：

核心问题便是：一个数改变了，需要改变什么相关的区间？
答案是：改变维护的区间包括这个数的区间，还是举例来说，如果 a[9] 改变了，由上图可以看出，c[9],c[10],c[12]（ $12$ 之后的不考虑 ）均要改变。事实上，c[x]上面的区间是c[x+lowbit(x)] （比如 $9_{(10)}=1001_{(2)}$ 于是 $9$ 上面一层区间便是$1001_{(2)}+lowbit(1001_{(2)})=1010_{(2)}=10_{(10)})$ 依次类推）。

这样我们便知道如何更新了。

代码实现

//修改 p指的是当前位置，k指的是加上k（如果tree[p]=k则是修改为k）
void modify(int p,int k){
    for(;p<=n;p+=lowbit(p)) tree[p]+=k;
}

//查询
int query(int p){
    int res=0;
    for(;p;p-=lowbit(p)) res+=tree[p];
    return res;
}

复杂度分析

结合代码，复杂度分析可以更便于理解：
以查询为例，复杂度无疑取决于那个for循环会执行多少次。根据lowbit的定义，
即使p所对应的二进制串都是 $1$,也不过是循环 $1$ 的个数次。
具体地说，$N=111...111_{(2)}$（有 $x$ 个 $1$ ），而 $N$ 可以近似看成是 $2^x$ ,故循环的次数为 $x=logN$,
故对应的复杂度是 $O(logN)$ 。
类似的，修改的操作亦然。