度量空间与连续映射

定义1.1.1 设$X$是一个集合，$\rho: X\times X\to\mathbb{R}.$ 如果对于任何$x, y, z\in X,$ 有正定性、对称性、三角不等式,则称$\rho$是集合$X$的一个度量.

如果$\rho$是集合$X$的一个度量，则称偶对$(X,\rho)$是一个度量空间，此外，对于任意两点$x, y\in X$, 实数$\rho(x,y)$称为从点$x$到点$y$的距离.

例1.1.1 实数空间 $\mathbb{R}.$

定义$\rho(x,y)=|x-y|.$ 这个度量空间特别地称为实数空间或直线，度量$\rho$称为$\mathbb{R}$的通常度量.

例1.1.2 $n$维欧氏空间 $\mathbb{R}^n.$

定义: 对于任意 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n), y=(y_1,\cdots,y_n)\in\mathbb{R}^n$, 令

$$\rho(x,y)=\sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i-y_i)^2}.$$

称为通常度量.

例1.1.3 Hilbert 空间$\mathbb{H}$.

记$\mathbb{H}$为平方收敛的所有实数序列构成的集合, 定义

$$\rho(x,y)=\sqrt{\sum^{\infty}_{i=1}(x_i-y_i)^2}.$$

例1.1.4 离散的度量空间.

设$(X,\rho)$是一个度量空间，称$(X,\rho)$是离散的，如果对于每一个$x\in X$, 存在一个实数$\delta_x>0$ 使得 $\rho(x,y)>\delta_x$ 对于任何$y\in X, y\neq x$成立.

定义1.1.2 设$(X,\rho)$是一个度量空间, $x\in X$. 对于任一给定的实数 $\varepsilon>0$, 集合

$$\{y\in X|\rho(x,y)<\varepsilon\}$$

记作$B(x,\varepsilon)$, 称为一个以$x$为中心, $\varepsilon$为半径的球形邻域.

定理1.1.1 度量空间$(X,\rho)$的球形邻域具有以下基本性质:

(1) 每一点$x\in X$至少有一个球形邻域, 并且点$x$属于它的每一个球形邻域.
(2) 对于点$x\in X$的任意两个球形邻域，存在$x$的一个球形邻域同时包含于两者.
(3) 如果$y\in X$属于$x\in X$的某一个球形邻域，则$y$有一个球形邻域包含于$x$的那个球形邻域.

定义1.1.3 设$A$是度量空间$X$的一个子集, 如果$A$中每一点都有一个球形邻域包含于$A$, 则称$A$是度量空间$X$中的一个开集.

定理1.1.2 度量空间$X$中的开集具有以下性质:

(1) 集合$X$和空集都是开集.
(2) 任意两个开集的交是开集.
(3) 任意一个开集族的并是一个开集.
为了方便，我们将球形邻域的概念推广。