预备知识
向量函数
定理1.1 设\(\textbf{a}(t)\)是一个处处非零的连续可微的向量函数, 则
(1) 向量函数\(\textbf{a}(t)\)的长度是常数当且仅当\(\textbf{a}'(t)\cdot\textbf{a}(t)\equiv 0\).
(2) 向量函数\(\textbf{a}(t)\)的方向不变当且仅当\(\textbf{a}'(t)\times \textbf{a}(t)\equiv 0\).
(3) 如果向量函数\(\textbf{a}(t)\)与某一个固定的方向垂直, 那么\((\textbf{a}(t),\textbf{a}'(t),\textbf{a}''(t))\equiv 0.\)
反过来，如果上式成立，并且处处有\(\textbf{a}'(t)\times\textbf{a}(t)\neq\textbf{0},\) 那么向量函数\(\textbf{a}(t)\)必定与某一固定的方向垂直.
双重外积公式
\(\textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})=\textbf{b}(\textbf{a}\cdot\textbf{c})−\textbf{c}(\textbf{a}\cdot\textbf{b}).\)
曲面的第一基本形式
正则参数曲线面
所谓参数曲面\(S\)是指从\(E^2\)的一个区域\(D\)到空间\(E^3\)的一个连续映射\(S: D\to E^3.\) 若在\(E^2, E^3\)中分别建立了笛卡尔直角坐标系, 用\((u,v)\)记\(E^2\)中点的坐标, 用\((x,y,z)\)记\(E^3\)中点的坐标, 则参数曲面\(S\)的方程可以表示为$$\left{
\begin{aligned}
& x=x(u,v), & \
& y=y(u,v), & (u,v)\in D,\
& z=z(u,v), &
\end{aligned}
\right.
\[对于本书中要研究的曲面, 首先假定函数$x(u,v),y(u,v),z(u,v)$有连续的三次以上的各阶偏导数.
自变量$u,v$称为曲面$S$的参数. 在曲面$S$上取定一点$p_0$, $\vec{Op_0}=\textbf{r}(u_0,v_0).$ 如果固定参数$u=u_0$, 而让参数$v$变化, 则动点描出一条落在曲面$S$上的曲线$\textbf{r}(u_0,v)$, 这条曲线称为在曲面$S$上经过点$p_0$的$v$-曲线. 这样类似, 在参数曲面上经过每一点有一条$u$-线和一条$v$-线, 它们构成曲面上的$\textbf{参数曲线网}$. 在区域$D$上看, 这两条线分别是$E^2$中的坐标曲线. 直观上, 参数曲面$S$是把$E^2$中的区域$D$经过伸缩、扭曲等变形后放置到$E^3$中的结果.
但是要使$(u,v)$真的能够具有曲面$S$上的点的坐标的功能, 必须要求在曲面$S$和区域$D$的点之间一一对应, 因此需要加一些正则性条件. 如果$\textbf{r}_u(u_0,v_0)，\textbf{r}_v(u_0,v_0)$是线性无关的, 即外积不等于0，则称曲面$S$在点$p_0$是正则的. 今后我们研究都是3次以上连续可微、处处正则的参数曲面，称为正则参数曲面.
正则参数曲面在局部上必定可以看作一个二元连续可微函数的图像. $z=z(u,v)=z(u(x,y),v(x,y)),$称为$\textbf{Monge}$形式. 这个形式给出的曲面都是正则的. 当然正则参数曲面的参数容许做一定的变换, 要满足条件：
(1) $u=u(\tilde{u},\tilde{v}),v=v(\tilde{u},\tilde{v})$都是关于$\tilde{u},\tilde{v}$的三次以上连续可微函数;
(2) $\frac{\partial{(u,v)}}{\partial{(\tilde{u},\tilde{v})}}\neq 0$.
我们还规定, 向量$\bar{r}_u\times\bar{r}_v$所指的一侧为曲面的正侧. 因此参数$u,v$的次序决定了正则参数曲面的定向.
正则参数曲面只是表示曲面的一种手段, 比如球面不能用一张正则参数曲面来表示, 正则曲面的概念本身尚需另外定义.
#### 定义1 \ 设$S$是$E^3$的一个子集. 如果对于任意一点$p\in S$, 必存在点$p$在$E^3$中的一个邻域$V\subset E^3$, 以及$E^2$中的一个区域$U$, 使得在$U$和$V\cap S$之间能够建立一一的、双向连续的对应，并且该对应$\textbf{r}:U\to V\cap S\subset E^3$本身是一个正则参数曲面$$ \textbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),\ (u,v)\in U,\]
则称\(S\)是\(E^3\)中的一张\(\textbf{正则曲面}\), 简称为曲面.
